PHÂN SỐ TỐI GIẢN AB LÀ PHÂN SỐ TỐI GIẢI KHI VÀ CHỈ KHI (A B, )=1.T...
5) Phân số tối giản
a
b
là phân số tối giải khi và chỉ khi
(
a b
,
)
=
1.
Tính chất:
i)
Mọi phân số khác 0 đều có thể đưa về phân số tối giản.
ii)
Dạng tối giản của một phân số là duy nhất.
iii) Tổng (hiệu) của một số nguyên và một phân số tối giản là một phân số tối giản.
B.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Các bài toán liên quan tới số ước của một số
* Cơ sở phương pháp:
Nếu dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của một số tự nhiên
A
là
a b c
x
.
y
.
z
… thì số lượng các ước của
A
bằng
(
x
+
1
)(
y
+
1
)(
z
+
1
)
…
Thật vậy ước của
A
là số có dạng
mnp
…trong đó:
m
có
x
+
1
cách chọn (là
1, , , ,
a a
2
…
a
x
)
CH
UY
ÊN
Đ
Ề
S
Ố
H
Ọ
C
n
có
y
+
1
cách chọn (là
1, , , ,
b b
2
…
b
y
)
p
có
z
+
1
cách chọn (là
1, , , ,
c c
2
…
c
z
),…
Do đó, số lượng các ước của
A
bằng
(
x
+
1
)(
y
+
1
)(
z
+
1
)
* Ví dụ minh họa:
Bài toán 1. Tìm số ước của số
18
96
Hướng dẫn giải
Ta có :
18
96
=
( )
3 .2
2
96
=
3 .2 .
192
96
Vậy số ước của số
18
96
là
(
96 1 192 1
+
)(
+ =
)
97.193 18721.
=
Bài toán 2. Chứng minh rằng một số tự nhiên lớn hơn 0 là số chính phương khi và chỉ khi
số ước số của nó là số lẻ.
Hướng dẫn giải
Giả sử
n
=
p
1
a
1
.
p
2
a
2
....
p
k
a
k
với
p
i
nguyên tố và
a
i
∈
N
*
.
n là số chính phương khi và chỉ khi
a a
1
,
2
,...,
a
k
là các số chẵn khi đó
(
a
1
+
1
)(
a
2
+
1 ...
) (
a
k
+
1
)
là số lẻ.
Mặt khác
(
a
1
+
1
)(
a
2
+
1 ...
) (
a
k
+
1
)
là số các số ước của n, do đó bài toán được chứng
minh.
Bài toán 3. Một số tự nhiên n là tổng bình phương của 3 số tự nhiên liên tiếp. Chứng minh
rằng n không thể có đúng 17 ước số.
Tổng bình phương của 3 số tự nhiên liên tiếp có dạng :
(
1
)
2
2
(
1
)
2
3
2
2
n
=
m
−
+
m
+
m
+
=
m
+
không thể là số chính phương.
Nếu n có đúng 17 ước số thì n là số chính phương (bài toán 1), vô lí. Từ đó suy
ra điều phải chứng minh.
Dạng 2: Tìm số nguyên n để thỏa mãn điều kiện chia hết
* Cơ sở phương pháp: Tách số bị chia thành phần chứa ẩn số chia hết cho số chia và phần
nguyên dư, sau đó để thỏa mãn chia hết thì số chia phải là ước của phần số nguyên dư, từ
đó ta tìm được số nguyên n thỏa mãn điều kiện.
Bài toán 1. Tìm số tự nhiên n để (5n + 14) chia hết cho (n + 2).
Ta có 5n + 14 = 5.(n + 2) + 4.
Mà 5.(n + 2) chia hết cho (n + 2).
CH
IN
H
P
H
Ụ
C
K
Ỳ
T
H
I H
Ọ
C S
IN
H
GI
Ỏ
I C
ẤP
H
AI
Do đó (5n + 14) chia hết cho (n +2)
⇔
4 chia hết cho (n + 2)
⇔
(n + 2) là ước của 4.
⇔
(n +2) ∈
{
1
;
2
;
4
}
⇒
n ∈
{
0
;
2
}
.
Vậy với n ∈{0; 2} thì (5n + 14) chia hết cho (n + 2).
+
n
là số tự nhiên.
15
Bài toán 2. Tìm số tự nhiên n để
n
3
n
là số tự nhiên thì (n + 15) chia hết cho (n + 3).
Để
3
⇒
[(n + 15) - (n + 3)] chia hết cho (n + 3).
⇔
12 chia hết cho (n +3) .
⇔
(n + 3) là Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}.
⇔
n
∈
{
0; 1; 3; 9
}
.
Vậy với n ∈ {0; 1; 3; 9}thì
Bài toán 3. Tìm số tự nhiên n để n
2
+ 3n + 6
n + 3.
Ta có: n
2
+ 3n + 6
n + 3
Suy ra: n (n + 3) + 6
n + 3
⇔
6
n + 3
=> n + 3
∈
Ư(6) = {1; 2; 3; 6} => n = 0; n = 3.
Bài toán 4. Tìm số nguyên n để phân số
4n
5
−
có giá trị là một số nguyên
2n 1
− +
=
− +
= +
Ta có:
4n
5
−
−
−
−
=
4n
2
7
n(2n 1)
7
n
7
2n 1
2n 1
2n 1
Vì n nguyên nên để
4n
5
−
nguyên thì
7
2n 1
−
nguyên
=> 2n – 1
∈
Ư(7) = {–7; –1; 1; 7}
⇔
2n
∈ {– 6; 0; 2; 8}
⇔
n ∈ {– 3; 0; 1; 4}
Vậy với n
∈
{– 3; 0; 1; 4} thì
4n
5
Bài toán 5. Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau là số tự nhiên:
+
+
2
2
5
17
3
n
n
n
=
+
−
B
n
n
n
+
+
+
2
2
2
Ta có:
+
+
+ +
+
−
+
n
n
n
n
n
n
n
2
2
5
17
3
2
2
5
17
3
4
19
=
+
−
=
=
B
n
n
n
n
n
+
+
+
+
+
2
2
2
2
2
4(
2) 11
4
11
=
= +
+
+
2
2
n
n
Để B là số tự nhiên thì
11
2
n
+
là số tự nhiên
⇒
11
(n + 2)
⇒
n + 2
∈
Ư(11) =
{
± ±
1; 11
}
Do n + 2 > 1 nên n + 2 = 11
⇒
n = 9
Vậy n = 9 thì B ∈ N
=
+
n
k
Bài toán 6. Tìm k nguyên dương lớn nhất để ta có số
(
1
)
2
+
là một số nguyên dương
23
k
k
k
k
k
k
+
+
+
+
−
+
+
=
=
=
= − +
∈
Ta có:
(
1
)
2
2
2
1
(
23
)(
21
)
484
484
n
k
k
Z
Bạn đang xem 5) - Các bài toán về ước và bội -
