... 1X N N N2 2 3 1 1SUY RA 0< < ⇒X 1 [ ]X =0BÀI TOÁN 2. TÌM...
1 .... 1x n n n2 2 3 1 1Suy ra 0< < ⇒x 1
[ ]
x =0Bài toán 2. Tìm phần nguyên của số:6
+
6
+ +
...
6
+
6
(có 100 dấu căn). (Nâng cao và phát triển lớp 9 tập 1 – Vũ Hữu Bình) Hướng dẫn giải Kí hiệua
n
=
6
+
6 ...
+ +
6
+
6
(cón
dấu căn). Ta cóa
1
=
6
<
3
a
=
+
a
<
+ =
2
6
1
6
3
3
3
6
2
6
6
3
…a
=
+
a
<
+ <
.100
6
99
6
3
3
Hiển nhiêna
100
>
6
>
2
a
100
6
2
. Như vậy2
<
a
100
<
3
, do đó[ ]
a
100
=
2.
. Bài toán 3. Tính phần nguyên của:A
=
n n
(
+
1
)(
n
+
2
)(
n
+
3 .
)
với n là số tự nhiên. Ta có:A
=
n n
(
+
1
)(
n
+
2
)(
n
+
3 .
)
=
(
n
2
+
3
n
)(
n
2
+
3
n
+
2
) (
=
n
2
+
3
n
)
2
+
2
(
n
2
+
3
n
)
.
Để ý rằng:(
n
2
+
3
n
)
2
<
(
n
2
+
3
n
)
2
+
2
(
n
2
+
3
n
) (
<
n
2
+
3
n
)
2
+
2
(
n
2
+
3
n
)
+
1
Suy ran
2
+
3
n
< <
A
n
2
+
3
n
+
1
. Vậy[ ]
A
=
n
2
+
3 ,
n n
∈
N
.
Bài toán 4. Tìm[ ]
x biết: x= 4n2
+ 16n2
+8n+3 với n là số tự nhiênThật vậy ta có:(
4n+1)
2
<16n2
+8n+ <3(
4n+2)
2
⇒ + < + + < +4n 1 16n2
8n 3 4n 2⇒ + + < + + + < + + < + +2
2
2
2
2
4 4 1 4 16 8 3 4 4 2 4 8 4n n n n n n n n nCH IN H P H Ụ C K Ỳ T H I H ỌC S IN H GI Ỏ I C ẤP H AI
⇒ + < + + + < +2
2
2 1 4 16 8 3 2 2n n n n n[ ]
⇒ = +2 1x nBài toán 5. Tính tổng sau: 1 2 3 ... 24S = + + + + (
1 2 3) (
4 ... 8) (
9 ... 15) (
16 ... 24)
.S = + + + + + + + + + + + Theo cách chia nhóm như trên, nhóm 1 có ba số, nhóm 2 có năm số, nhóm 3 có bảy số, nhóm 4 có chín số. Các số thuộc nhóm 1 bằng1
, các số thuộc nhóm 2 bằng 2, các số thuộc nhóm 3 bằng 3, các số thuộc nhóm 4 bằng 4. Vậy A=1.3 2.4 3.7+ + +4.9=70. Dạng 2: Chứng minh một đẳng thức chứa phần nguyên * Cơ sở phương pháp: Chứng minh các hệ thức chứa phần nguyên thực chất có thể coi làchứng minh các tính chất của phần nguyên. Để chứng minh các hệ thức chứa phần nguyên ta phải sử dụng các tính chất đã được nêu trong phần lý thuyết, kết hợp với các kĩ thuật đại số và số học. * Ví dụ minh họa:Bài toán 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta luôn có: + =n n2+ n 2 2 + + = + + = + = =k kNếu n chẵn, tức là n = 2k thì 2 2 1[ ]
1 2k k k k k n 2 2 2+ + + + = + + + = + + = + =Nếu n lẻ, tức n = 2k + 1 thì: 2 1 2 1 1 1[
1]
1 2 1 .CH UY ÊN Đ Ề SỐ H Ọ C
Vậy bài toán được chứng minh. Bài toán 2. Cho n là số tự nhiên, chứng minh: + = + 4n 1 4n 2Đặt k = 4n+2 ; m= 4n+1 .Ta có: k≥mDo k = 4n+2 nên k≤ 4n+ ⇒2 k2
≤4n+2.Giả sử k2
=4n+2, điều này vô lý vì số chính phương chia cho 4 không thể dư 2. Từ đó suy ra: k2
<4n+ ⇒2 k2
≤4n+ ⇒ ≤1 k 4n+ ⇒ ≤1 k 4n+1=m.Vậy k = m. Bài toán 3. Chứng minh rằng với n là số nguyên dương bất kì, ta có: + = − + 1 3 12 4 2 .n n Đặt 1 3 1; .k = n+ m= n− + 2 4 2Khi đó: 1 1 12
12
1