PHƯƠNG TRÌNH DẠNG HỖI HỢP*CƠ SỞ PHƯƠNG PHÁP
5) Phương trình dạng hỗi hợp*Cơ sở phương pháp:Có những phương trình chứa của phần nguyên và phần dư, hoặc phần nguyên với các phép toán khác (lũy thừa, căn thức,…) ta xếp chúng vào dạng phương trình hỗn hợp. Giải chúng nói chung là khó, cần kết hợp nhiều suy luận và kĩ thuật khác nhau, như dùng định nghĩa, chia khoảng, sử dụng tính chất số nguyên của
[ ]
x hoặc tính chất 0≤{ }
x <1, các tính chất x nguyên khi và chỉ khi{ }
x =0hoặc x=[ ]
x , các phương pháp của đại số như đặt ẩn phụ, biến đổi tương đương hệ phương trình,... * Ví dụ minh họa:Bài toán 1. Giải phương trình trên tập số dương: = x2
[ ]
x2
Hướng dẫn giải Xétn
≤ < +
x
n
1
hay[ ]
x =n, trong đó n là số tự nhiên (có thể bằng 0). Ta có2
2
2
n
≤
x
<
n
+
n
+
Do đó x2
chỉ có thể nhận các giá trị2
1.
2
2
2
2
; 1; 2;...; 2 .n n + n + n + nNhưng[ ]
x
2
=
n
2
nên phương trình đã cho đúng khi và chỉ khi ≤ < +n x n[ ]
2
= = ≤ < +2
2
x x n , tức là2
2
2
1 hay n≤ <x n2
+1.. 1Vì x > 0 nên ta có0
< <
x
1
hoặc n≤ <x n2
+1,n=1, 2, 3, 4,...CH UY ÊN Đ Ề SỐ H Ọ C
Bài toán 2. Giải phương trình: +
x
2
[ ]
x
=
{ }
x
+
2.
Từ giả thiết ta suy ra{ }
x
=
x
2
+
[ ]
x
−
2
. Vế phải là một số nguyên, mà vế trái 0≤{ }
x <1nên{ }
x =0. Vậy x là một số nguyên. Do đóx
2
cũng là một số nguyên. Suy ra =
x
2
x
2
và[ ]
x =x. Phương trình đã cho trở thànhx
2
+ − =
x
2
0.
Phương trình này có nghiệm x = -2 hoặc x = 1. Bài toán 3. Tìm các sốx y z
, ,
thoả mãn cả ba phương trình sau[ ] { }
1,1
x
y
z
;y
[ ] { }
z
x
2, 2
;z
[ ] { }
x
y
3, 3
. Cộng từng vế các phương trình đã cho đượcx
y
z
3, 3
. Cộng từng vế hai phương trình đầu được[ ] { } [ ] { }
3, 3
x
y
z
z
y
x
. Suy ra[ ] { }
y
x
0
(chú ý rằng[ ] { }
z
z
z
). Do đó{ }
x
là số nguyên, suy ra{ }=0
x
. Vậy[ ]
y
0
vàx
[ ]
x
. Từx
[ ] { }
y
z
1,1
và[ ]
y
0
suy rax
{ }
z
1,1
. Do0
{ }
z
1
vàx
[ ]
x
nênx
1
, do đó{ }
z
0,1
. Từy
[ ] { }
z
x
2, 2
và{ }=0
x
suy ray
[ ]
z
2, 2
. Ta lại có[ ]
y
0
nên0
y
1
, do đóy
0, 2,[ ]
z
2
. Vậy z [ ]+{ }z z 2,1. Dạng 4: Bất phương trình chứa phần nguyên * Cơ sở phương pháp: Khi giải bất phương trình có chứa dấu phần nguyên, ta thường đặt biểu thức
f x
( )
=
t
(t nguyên) để chuyển về giải bất phương trình không còn chứa dấu phần nguyên, rồi vận dụng định nghĩa và tính chất của phần nguyên để tìm ra nghiệm của bất phương trình. * Ví dụ minh họa: Bài toán 1. Giải bất phương trình[
x+ >2]
5.Cách 1. Nhận xét rằng[ ]
a >b (b nguyên) khi và chỉ khi a≥ +b 1.Ta có[
x+ >2]
5 khi và chỉ khi x+ ≥2 6. Do đó x≥4.CH IN H P H Ụ C K Ỳ T H I H ỌC S IN H GI Ỏ I C ẤP H AI
Cách 2. Đặt[
x+ =2]
t (t
là số nguyên) thì có t>5. Do vậy t∈{
6; 7;8;... .}
Từ[
x+ =2]
t suy ra t≤ + < +x 2 t 1. suy ra t− ≤ < −2 x t 1,t∈{
6; 7;8;... .}
Vậy x≥4. Bất phương trình có vô số nghiệm x≥4.Bài toán 2. Giải bất phương trình2
[ ]
x
2
−
9
[
x
+ +
1
]
16
<
0.
Ta có[
x+ =1] [ ]
x +1. Biến đổi bất phương trình thành[ ]
2
[ ]
2
x
−
9
x
+ <
7
0.
Đặt[ ]
x =t (t là số nguyên) thì có2
t
2
− + <
9
t
7
0
suy ra1
< <
t
3, 5
mà t nguyên nên{ }
2;3 .t∈Với t=2 thì[ ]
x =2 suy ra 2≤ <x 3.Với t=3 thì[ ]
x =3 suy ra 3≤ <x 4.Vậy tập nghiệm của bất phương trình là[
2; 4 .)
Bài toán 3. Giải bất phương trình[ ] [ ]
2x > x .Cách 1. Đặt[ ]
x =t (t là số nguyên) thì t≤ < +x t 1 suy ra 2t≤2x< +2t 2. Do đó[ ]
2x =2thoặc 2t+1. • Với[ ]
2x =2t thì 0≤{ }
x <0, 5 và2
t
> ⇔ >
t
t
0,
mà t nguyên nên t là số nguyên dương. Dẫn đến x≥1.• Với[ ]
2x = +2t 1 thì 0, 5≤{ }
x <1 và2
t
+ > ⇔ > −
1
t
t
1,
mà t nguyên nên t là số nguyên dương. Dẫn đến x≥0.Kết hợp với 0, 5≤{ }
x <1 dẫn đếnx
≥
0, 5.
Cách 2. Nhận xét rằng[ ] [ ]
a > b khi và chỉ khi a>b và[ ] [ ]
a ≠ b . Ta có[ ] [ ]
2x > x ⇔2x>x và[ ] [ ]
2x ≠ x ⇔ >x 0 và[ ] [ ]
2x ≠ x .Trước hết ta tìm x sao cho[ ] [ ]
2x = x .Đặt[ ] [ ]
2x = x =t (t nguyên) ta có 2x− < ⇔x 1 x <1 suy ra 0< <x 1 nên[ ]
x =0.Với t=0 thì[ ] [ ]
x = 2x =0 suy ra 0≤2x<1 nên0
≤ <
x
0, 5.
Vậy nghiệm của bất phương trình làx
≥
0, 5.
Bài toán 4. Giải bất phương trình[ ]
x .{ }
x < −x 1Bất phương trình
[ ]
x .{ }
x < −x 1tương đương với
[ ]
x .{ }
x <[ ]
x +{ }
x −1hay
[ ]
x
.
( { }
x
− <
1
) { }
x
− ⇔
1
( [ ]
x
−
1
) ( { }
x
− <
1
)
0.
Do{ }
x − <1 0nên[ ]
x >1 hayx
≥
2
Vậy nghiệm của bất phương trình làx
≥
2
Dạng 5: Phần nguyên trong chứng minh một số dạng toán số học * Cơ sở phương pháp: Phần nguyên được ứng dụng khá nhiều trong giải các bài toán số học về số tận cùng, chia hết, số nguyên tố….chúng ta cùng đến với các ví dụ cụ thể. Bài toán 1. Cho a>0 và số n nguyên dương. Chứng minh rằng số các số nguyên dương
là bội số của n và không vượt quá a làa
.
n
Ta viết a=nq r+ , trong đóq
là số tự nhiên, 0≤ <r n.Rõ ràng các bội số của n không vượt quá a làn
, 2 ,...,
n
qn
.
tổng cộng cóq
số. =
Mặt kháca
.
n
q
Từ đó suy ra kết luận của bài toán. Bài toán 2. Số 2012! có tận cùng bao nhiêu số 0? Vì 10=2.5 nên để biết 2012! có tận cùng bằng bao nhêu chữ số 0, ta cần phải tính số mũ của 5 khi phân tích 2012! ra thừa số nguyên tố. Theo Ví dụ 1, Số mũ của 5 khi phân tích 2012! ra thừa số nguyên tố bằng
+
+
+
=
+
+
+ =
2012
2012
2012
2012
402 80 16 3
501.
(Do2012
<
5
5
)2
3
4
5
5
5
5
Do mũ của 2 khi phân tích 2012! ra thừa số nguyên tố nhiều hơn 501. Vậy 2012! Có tận cùng là 501 chữ số 0. Nhận xét. Nếu5
k
≤ <
n
5
k
+
1
thì số chữ số 0 tận cùng về bên phải của số n! bằng
+
+ +
n
n
n