3 BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA DẤU PHẦN NGUYÊN KHI GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH...

6.3 BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA DẤU PHẦN NGUYÊN

Khi giải bất phương trình có chứa dấu phần nguyên, ta thường đặt biểu thức ^ _ ^{f x}   ^ _ ^{ t}

( t nguyên) để chuyển về giải bất phương trình không còn chứa dấu phần nguyên, rồi vận

dụng định nghĩa và tính chất của phần nguyên để tìm ra nghiệm của bất phương trình.

Ví dụ 14. Giải bất phương trình  ^{x   2}  ^5.

Giải.

Cách 1. Nhận xét rằng   ^{a  b ( b} nguyên) khi và chỉ khi a b   1.

Ta có  ^{x   2}  ⁵ khi và chỉ khi x   2 6. Do đó x  4.

Cách 2. Đặt  ^{x   2}  ^{t ( t} là số nguyên) thì có t  5. Do vậy t   6;7;8;... . 

Từ  ^{x   2}  ^t suy ra ^{t x     2 t 1.} suy ra t     ² x t ^1, t   6;7;8;... . 

Vậy x  4. Bất phương trình có vô số nghiệm x  4.

Ví dụ 15. Giải bất phương trình ²   ^x

²

^{ 9}  ^{x   1 16 0.}  ^

Áp dụng tính chất 4) ta có  ^{x   1}    ^{x  1.} Biến đổi bất phương trình thành

 

²

 

2 x  9 x   7 0.

Trang 41

Đặt   ^{x  t ( t} là số nguyên) thì có 2 t

²

   9 t 7 0 suy ra 1   t 3,5 mà t nguyên nên

  ^{2;3 .}

t 

Với t  2 thì   ^{x  2 suy ra 2   x 3.}

Với t  3 thì   ^{x  3 suy ra 3   x 4.}

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là  ^{2; 4 .}   

Ví dụ 16. Giải bất phương trình     ^{2 x  x .}

Cách 1. Đặt   ^{x  t} ( t là số nguyên) thì t x t    1 suy ra 2 t  2 x   2 t 2. Do đó   ^{2 x  2 t}

hoặc 2 1 t  .

 Với   ^{2 x  2 t thì 0 }   ^{x  0,5 và 2 t t    t 0, mà t} nguyên nên t là số nguyên

dương. Dẫn đến x  1.

 Với   ^{2 x   2 1 t} thì ^{0,5 }   ^{x  1} và 2 t      1 t t 1, mà t nguyên nên t là số nguyên

dương. Dẫn đến x  0.

Kết hợp với ^{0,5 }   ^{x  1} dẫn đến x  0,5.

Cách 2. Nhận xét rằng     ^{a  b} khi và chỉ khi a b  và     ^{a  b .}

Ta có     ^{2 x  x  2 x x  và}     ^{2 x  x   x 0 và}     ^{2 x  x .}

Trước hết ta tìm x sao cho     ^{2 x  x .}

Đặt     ^{2 x  x  t ( t} nguyên) ta có

2 x x    1 x  1 suy ra 0   x 1 nên   ^{x  0.}

Với t  0 thì     ^{x  2 x  0 suy ra 0 2  x  1 nên 0   x 0,5.}

Vậy nghiệm của bất phương trình là x  0,5.

BÀI TẬP