2.2 NẾU F X Y ( , ) LÀ ĐA THỨC BẬC HAI ĐỐI VỚI X (HOẶC Y ) VỚI...

5.2.2 Nếu F x y ( , ) là đa thức bậc hai đối với x (hoặc y ) với hệ số nguyên thì ta sẽ coi

( , ) 0

F x y  là phương trình bậc hai ẩn x (hoặc y ) để xét điều kiện  phải là số chính

phương.

Ví dụ 4. Giải phương trình nghiệm nguyên 3 x

²

 2 xy y   5 x   2 0.

Giải.

Cách 1. Phương trình này chỉ chứa bậc nhất đối với y nên ta có thể rút y theo x .

Ta có (1 2 )  x y   3 x

²

 5 x  2 .

Do x nguyên nên 1 2  x  0 . Suy ra

   

2

2

x x x x

3 5 2 12 20 8 1

     

4 6 7 .

y y x

  

2 1 2 1 2 1

x x x

Do x y , là các số nguyên suy ra ¹

2 x  1 là số nguyên, nên 2 x    1 {1; 1} . Từ đó tìm được

( ; ) x y là (1;0), (0; 2) .

Cách 2. Coi phương trình bậc hai đối với x , ta có

3 x

2

 (2 y  5) x y    2 0.

       

(2 y 5) 12( y 2) 4 y 8 y 1.

Nên phương trình có nghiệm nguyên thì  phải là số chính phương, tức là

   

4 8 1 ( )



y y k k

   

y k

(2 2) 3

     

y k y k

(2 2)(2 2) 3.

Từ đó cũng tìm được các nghiệm như trên

Nhận xét. Bằng cách này ta có giải được phương trình dạng

ax

2

 bxy cx dy e    , hoặc ( ay

²

 bxy cx dy e    )

Trong đó a b c d e , , , , là các số nguyên.

Ví dụ 5. Tìm nghiệm nguyên của phương trình ( x

²

 y x y )( 

²

) (  x y  ) .

³

Trang 26

Biến đổi phương trình về dạng

2

2

2

[2 ( 3 ) 3 ] 0.

y y  x  x y x   x 

Nếu y  0 thì ^x sẽ là số nguyên tùy ý.

Xét y  0 thì 2 y

²

 ( x

²

 3 ) x y x   3 x

²

 0. (1)

Ta coi (1) là phương trình bậc hai theo ẩn y , ta tính

2

2

2

2

       

( x 3 ) x 8( x 3 ) x x x ( 1) ( x 8).

Trường hợp x   1 thì   0 , nghiệm kép của (1) là y   1.

Trường hợp x   1 , để phương trình có nghiệm nguyên thì  phải là số chính phương,

tức là x x (   8) k k

²

(   )  ( x   4 k x )(   4 k ) 16. 

Vì k   nên x      4 k x 4 k và ( x   4 k ) (  x   4 k ) 2(  x  4) nên x   4 k x ,   4 k

cùng chẵn. Lại có 16 2.8 4.4 ( 4).( 4) ( 2).( 8).         Xảy ra bốn trường hợp

  

4

x k a

    

x k b

 với ( ; ) (2;8), (4; 4), ( 4; 4), ( 2; 8). a b     

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm nguyên ( ; ) x y là ( 1; 1), (8; 10), (0; )    k với k   .

Lưu ý. Trong trường hợp F x y ( , ) là đa thức có hệ số nguyên với bậc cao hơn 2 theo biến

x và ^y , ta cũng có thể đưa về một trong hai trường hợp trên bằng cách đặt ẩn phụ.

Ví dụ 6. Giải phương trình nghiệm nguyên x

³

 y

³

 2 xy  8.

Ta có thể đưa về dạng phương trình bậc hai ẩn y bằng phép đặt x y a   (với a

nguyên). Khi đó ta có (3 a  2) y

²

 (3 a

²

 2) y a 

³

  8 0.

Do ^a nguyên nên 3 a   2 0 , tính

     

2

2

3

(3 2) 4(3 2)( 8)

a a a

     

4

3

2

3 8 12 96 60

a a a a

      

a a a a

( 4 2) 2 ( 56) 56.

Để cho   0 suy ra 2 ( a a

³

 56) 0     0 a

³

56 . Vì a nguyên nên a chỉ nhận giá trị