BẤT ĐẲNG THỨC BU-NHIA-KÔP-XKI + VỚI HAI CẶP SỐ A B ; VÀ ...
3) Bất đẳng thức Bu-nhia-kôp-xki
+ Với hai cặp số a b ; và x y ; luôn có a
2
b
2
x
2
y
2
ax by
2
, đẳng thức xảy ra
khi và chỉ khi ay bx .
+ Tổng quát, cho hai dãy số thực tùy ý a a
1
, ,...,
2
a
n
và b b
1
, ,..., ,
2
b
n
khi đó ta có
a b
1 1
a b
2 2
... a b
n n
2
a
1
2
a
2
2
... a
n
2
b
1
2
b
2
2
... b
n
2
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a
i
kb
i
với mọi i 1, 2,..., . n
Ví dụ 15. Tìm nghiệm nguyên của phương trình
2
2
2
2
2
2 2 4 4.
x y z xy yz z
Giải.
Biến đổi phương trình về dạng
2
2
2
2
2
2 2 4 4 0
x xy y y yz z z z
x y
0
2
2
2
x y y z z y z x y z
2 0 0 2.
2 0
z
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x y z ; ; 2;2;2 .
Ví dụ 16. Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x
2
1 y
2
4 z
2
9 48 xyz .
Nhận thấy nếu x y z
0
; ;
0
0
là một nghiệm nguyên của phương trình thì x y z
0
, ,
0
0
cùng
dương hoặc có hai số âm và một số dương.
Ngoài ra x
0
; y z
0
;
0
, x
0
; y
0
; z
0
, x y
0
; ;
0
z
0
cũng là nghiệm.
Do đó trước hết ta đi tìm nghiệm nguyên dương.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm, ta có
2
1 2 0;
2
4 4 0;
2
9 6 0.
x x y y z z
Suy ra x
2
1 y
2
4 z
2
9 48 xyz .
Đẳng thức chỉ xảy ra khi và chỉ khi x 1, y 2, z 3.
Vậy nghiệm nguyên x y z ; ; của phương trình là
1;2;3 , 1; 2;3 , 1; 2; 3 , 1;2; 3 .
Nhận xét. Bằng cách này ta có thể tìm nghiệm nguyên của phương trình dạng
Trang 32
x
1
2
a
1
2
x
2
2
a
2
2
... x
n
2
a
n
2
2
n
x x
1 2
... . x a a a
n
1 2
...
n
với a n
i
, là các số nguyên dương.
Ví dụ 17. Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình
2
2