Bài 2. a) Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a
2+ b
2+ c
2 = 1. Chứng minh rằng
2.
| a − b | + | b − c | + | c − a | ≤ 2 p
b) Cho 2019 số thực a
1, a
2, . . . , a
2019thỏa mãn a
12+ a
22+ · · · + a
22019= 1. Tìm giá trị
lớn nhất của
S = | a
1− a
2| + | a
2− a
3| + · · · +
a
2019− a
1 .
Lời giải. Nhận xét. Theo BĐT Cauchy – Schwarz, ta luôn có
.
x
1+ x
2+ · · · + x
n≤ | x
1| + | x
2| + · · · + | x
n| ≤ Ç
n x
12+ x
22+ · · · + x
2na) Do tính đối xứng, ta có thể giả sử a ≤ b ≤ c và đưa về
| a − b | + | b − c | + | c − a | = ( a − b ) + ( b − c ) + ( a − c ) = 2( a − c ) ≤ 2 p
a
2+ c
2 ≤ 2 p
p2BĐT được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi ( a, b, c ) = (−
p22, 0,
2 ).
b) Cách 1. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử a
1 là số nhỏ nhất. Ta xét các
trường hợp sau:
1. Nếu dãy số a
1, a
2, . . . , a
2019 không giảm thì tổng các khoảng cách đã cho chính
là hai lần khoảng cách giữa số đầu và số cuối, tức là
S = 2
a
21+ a
22019≤ 2 p
a
1− a
2019 ≤ 2 q
2. Ngược lại, trong dãy phải có một vị trí a
k với 1 < k < 2019 mà a
k ≥ a
k−1và a
k ≤ a
k+1 (tức là đơn điệu ngược chiều). Khi đó | a
k− a
k−1| + | a
k+1− a
k| =
| a
k+1− a
k−1| . Như thế, ta đã loại bỏ được số a
k khỏi biểu thức S và ta đưa về bài
toán chỉ có 2018 số thực như sau:
Cho 2018 số thực b
1, b
2, . . . ., b
2018thỏa mãn b
12+ b
22+· · · + b
22019≤ 1. Tìm giá trị
lớn nhất của
S = | b
1− b
2| + | b
2− b
3| + · · · + | b
2018− b
1| .
Suy ra
S ≤ (| b
1| + | b
2|) + (| b
2| + | b
3|) + · · · + (| b
2018| + | b
1|) = 2 X
| b
i| ≤ 2 p
2018.
1≤i≤2018Đẳng thức xảy ra khi tất cả các trị tuyệt đối bằng nhau và các số liên tiếp trái
dấu nhau. Do có chẵn số nên điều này có thể xảy ra được và ta chọn
p 2018
b
1= − b
2 = b
3= − b
4 = · · · = − b
2018=
2018 .
Vì thế nên trong bài toán ban đầu, ta cũng có max S = 2 p
2018 và đẳng thức xảy ra
chẳng hạn khi
a
1= − a
2= a
3= − a
4= · · · = − a
2018=
2018 , a
2019= 0.
Cách 2. Trước hết, ta có nhận xét:
| x − y | = 2 max{ x, y } − ( x + y ).
2019S
X
max { a
i, a
i+1} −
a
i.
2 =
i=1Rõ ràng max{ a
i, a
i+1} = a
i hoặc a
i+1 nên tổng trên có thể viết lại thành
2 = "
1a
1+ "
2a
2+ · · · + "
2019a
2019,
P
trong đó "
i ∈ {− 1, 0, 1 } . Ngoài ra, ta phải có
i=1 "
i = 0 (do trong tổng ở trên có 2019
dấu − và 2019 dấu + ) nên trong các hệ số này, phải có ít nhất một hệ số bằng 0, vì
nếu không thì vế trái là số lẻ, vô lý. Không mất tính tổng quát, giả sử "
2019= 0. Suy ra
2018"
ia
i ≤
| a
i| ≤ p
2018
2 ≤
nên S ≤ 2 p
2018. Đẳng thức xảy ra khi có 1009 số "
i nhận giá trị là 1, còn 1009 số
kia nhận giá trị là − 1. Từ đây không khó để chỉ ra
a
1= − a
2= · · · = a
2017= − a
2018=
2018 và a
2019= 0.
Nhận xét. Câu a của bài toán là một gợi ý hiệu quả khi cho ba số (lẻ số) và kết quả là
2 p
2. Nếu thay câu a gốc thành bài toán tìm GTLN ứng với 2020 số thì ta có thể thực
hiện ngay BĐT Cauchy-Schwarz như trên và thu được kết quả là 2 p
2020. Như thế thì
bài toán này có thể đổi giả thiết từ 2019 → n là số nguyên dương bất kỳ. Xét về bản chất
của lời giải, ở trường hợp 2019 số, ta vẫn thực hiện được tương tự trên nhưng lại không
thể chỉ ra dấu bằng theo kiểu ghép thành từng cặp đan dấu được.
Một số bài toán tương tự
1. (JBMO TST) Cho a, b, c ∈ R và a
2+ b
2+ c
2= 21. Chứng minh rằng
| a − 2b | + | b − 2c | + | c − 2a | ≤ 7.
2. Với các số thực x
1, x
2, . . . , x
n thì ta có
| x
1− x
2| + | x
2− x
3| + · · · + | x
n− x
1| ≥ 2 max
x
i− x
j , 1 ≤ i ≤ j ≤ n
3. (Komal 2014) Với n ≥ 2 ,cho các số thực 0 ≤ x
1 ≤ x
2 ≤ . . . ≤ x
n và 0 ≤ y
1 ≤
ny
i = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của
y
2≤ . . . ≤ y
n thỏa mãn điều kiện
x
i = P
ni=1a) min {| x
i− y
i| , 1 ≤ i ≤ n } .
b) P = P
n| x
i− y
i| .
i=1
Bạn đang xem bài 2. - Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia THPT môn Toán năm học 2019 - 2020 -
