CHỨNG MINH RẰNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ SAU NHẬN TRỤC TUNG LÀM TRỤC ĐỐI XỨNG

1, 1 f x f x 0

− nên hàm số y x ¹

1 2

= + x đồng biến trên khoảng 1; .

x x

2 1

Ví dụ 2: Cho hàm số y x

²

4

a) Xét chiều biến thiên cuả hàm số trên ;0 và trên 0;

b) Lập bảng biến thiên của hàm số trên 1;3 từ đó xác định giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên

1;3 .

Lời Giải

TXĐ: D R

a) x x

₁

,

₂

, x

₁

x

₂

x

₂

x

₁

0

Ta có T f x

₂

f x

₁

x

₂²

4 x

₁²

4 x

₂²

x

₁²

x

₂

x

₁

. x

₁

x

₂

Nếu x x

₁

,

₂

;0 T 0 . Vậy hàm số y f x nghịch biến trên ;0 .

Nếu x x

₁

,

₂

0; T 0 . Vậy hàm số y f x đồng biến trên 0; .

b) Bảng biến thiên của hàm số y x

²

4 trên 1;3

x − 1 0 3

− 3 5

2

4

y = x −

− 4

Dựa vào bảng biến thiên ta có

max y

min y 4



1;3





^1;3

 5

−

= − khi và chỉ khi x = 0 .

−

= khi và chỉ khi x = 3 ,

Ví dụ 3: Xét sự biến thiên của hàm số y 4 x 5 x 1 trên tập xác định của nó.

Áp dụng giải phương trình

a) 4 x 5 x 1 3

b) 4 x 5 x 1 4 x

²

9 x

+    −

4 5 0 5

    

 −  

4 1

* ĐKXĐ:

   

1 0 1

x

Suy ra TXĐ: ^{D = +}  ^1; )

Với mọi x x

1

,

2

 +  1; ) , x

1

 x

2

ta có

( ) ( )

− = + + − − + − −

4 5 1 4 5 1

f x f x x x x x

2 1 2 2 1 1

( )

− −

4

x x x x

= +

2 1 2 1

+ + + − + −

4 5 4 5 1 1

 

= −    + + + + − + −   

− = + 

f x f x

0

Suy ra ( )

2

( )

1

− + + + − + −

x x x x x x

2 1 2 1 2 1

Nên hàm số y 4 x 5 x 1 đồng biến trên khoảng  ^{1; +} ) ^.

a) Vì hàm số đã cho đồng biến trên  ^{1; +} ) ^nên

Nếu ^{x   1 f x} ( ) ^{ f} ( ) ^{1 hay 4 x 5 x 1 3}

Suy ra phương trình 4 x 5 x 1 3 vô nghiệm

Nếu ^{x   1 f x} ( ) ^{ f} ( ) ^{1 hay 4 x 5 x 1 3}

Với x = 1 dễ thấy nó là nghiệm của phương trình đã cho

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 .

b) ĐKXĐ: x  1 .

Đặt x

²

+ = 1 t t ,   1 x

²

= − t 1 phương trình trở thành

4 x 5 x 1 4 t 5 t 1 f x f t

Nếu ^{x   t f x} ( ) ^{ f t} ( ) ^{hay 4 x 5 x 1 4 t 5 t 1}

Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm

Nếu ^{x   t f x} ( ) ^{ f t} ( ) ^{hay 4 x 5 x 1 4 t 5 t 1}

Vậy f x f t x t hay x

²

+ =  1 x x

²

− + = x 1 0 (vô nghiệm)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Nhận xét: • Hàm số ^{y = f x} ( ) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì phương trình ^{f x} ( ) ^{= 0} có tối đa một

nghiệm.

• Nếu hàm số y f x ( ) đồng biến (nghịch biến) trên D thì f x ( ) f y ( ) x y x ( y ) và

( ) ( ) ,

f x f y x y x y D . Tính chất này được sử dụng nhiều trong các bài toán đại số như giải

phương trình , bất phương trình , hệ phương trình và các bài toán cực trị.