3.2 PHƯƠNG PHÁP SẮP THỨ TỰ TỪNG PHẦN Ở MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NG...
5.3.2 Phương pháp sắp thứ tự từng phần
Ở một số phương trình nghiệm nguyên ta quan tâm đến một ẩn bằng cách chia tập hợp
số của ẩn đó thành các tập hợp con rời nhau. Sau đó giải phương trình nghiệm nguyên
trong từng tập con đó.
Ta thường sử dụng những nhận xét sau: Với X Y , nguyên, a n , nguyên dương
a) Nếu X
n
Y
n
( X a )
n
thì Y
n
( X i )
n
với i 1, 2,..., a 1.
b) Nếu X X ( 1) Y Y ( 1) ( X a X a )( 1) thì
( 1) ( )( 1)
Y Y X i X i với i 1, 2,..., a 1.
c) Không tồn tại số nguyên Y sao cho X
n
Y
n
( X 1) .
n
d) Không tồn tại số nguyên Y sao cho X X ( 1) Y Y ( 1) ( X 1)( X 2).
Ví dụ 9. Tìm nghiệm nguyên của mỗi phương trình
a) 1 x x
2
x
3
x
4
y
4
;
b) 1 x x
2
x
3
y
3
.
Giải.
a) Với x 0 thay vào phương trình tìm được y 1 hoặc y 1.
Với x 1 thì y 1 hoặc y 1.
Với x 0 thì x
4
y
4
( x 1) ,
4
điều này vô lí.
Với x 1 thì ( x 1)
4
y
4
x
4
, điều này vô lí.
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm nguyên ( ; ) x y là (0;1), (0; 1), ( 1;1), ( 1; 1).
b) Với x 0 thì y 1 .
Với x 1 thì y 0.
Với x 0 thì x
3
y
3
( x 1) ,
3
điều này vô lí.
Với x 1 thì ( x 1)
3
y
3
x
3
, điều này vố lí.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên ( ; ) x y là (0;1), ( 1;0).
Nhận xét. Với cách làm tương tự như trên, ta có thể tìm nghiệm nguyên dương của
phương trình dạng 1 x x
2
... x
n
y
n