PHƯƠNG TRÌNH CHỨA NHIỀU DẤU PHẦN NGUYÊN * CƠ SỞ PHƯƠNG PHÁP

4) Phương trình chứa nhiều dấu phần nguyên * Cơ sở phương pháp:

CH IN H P H Ụ C K Ỳ T H I H ỌC S IN H GI Ỏ I C ẤP H AI

Sử dụng tính chất của phần nguyên, phân tích đa thức thành nhân tử, đặt ẩn phụ (nếu cần) để đưa về phương trình ít phần nguyên hơn. * Ví dụ minh họa:

x

x

Bài toán 1. Giải phương trình:

^.

   

+

=

x

   

   

2

3

Hướng dẫn giải Ta thấy xlà số nguyên. Đặt

x

=

6

a

+

r

trong đó

a r

,

∈

Z

và

0

≤ <

r

6.

+ +   + = ⇔   + = +6 6x x a r a r2 3 2 3 6x a r                     r r r r⇔ +      + = + ⇔ = − +      +a a r a r5 6 .2 3 2 3Lần lượt cho

r

bằng

0,1, 2, 3, 4, 5

ta được.

r

0

1

2

3

4

5

a

0



1



1



1



1



2

x

0



5



4



3



2



7

Cách khác:



+

≤

+

<

+

= 





+

−

≤

+

<

x

y

khi

x

y

0

1;

Ta dễ dàng chứng minh được tính chất

[ ] [ ] [ ] { } { }

x

y

[ ] { } { }

1

1

2

Áp dụng tính chất trên ta được:

    

+

=

+

  

=

    

+

=

+



− =

 

−

x

x

x

x

x

5

    

  

    



 

    



 

    

  

hoặc

1

⁵

1

2

3

2

3

6

  − =

  =

Vậy nếu x là nghiệm của phương trình

.

 

 

 

 

hoặc

⁵

¹

^.

   

thì

⁵

6

 ≤ − <

 ≤ − + <

0

5

1





hoặc

⁰

⁵

(

¹

)

¹

Tức là



∈



x

Z

CH UY ÊN Đ Ề SỐ H Ọ C

hay

− < ≤

6

x

0

hoặc

−

12

< ≤ −

x

6

. Vậy

−

12

< ≤

x

0.

Do x nguyên nên x chỉ có thể là

−

11; 10; 9; 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1; 0.

−

− − − − − − − − −

Thay vào phương trình và thử lại, ta được:

x

= − − − − −

7; 5; 4; 3; 2; 0.

     

+

+

=

x

x

x

Bài toán 2. Giải phương trình

224

     

     

1!

2!

3!

Ta có

[ ]

²²⁴

x

+

   

   

   

+

=

.

4

6

Trước hết ta ước lượng giá trị của

x

. Do

[ ]

^{x ≤ x} nên

²²⁴

⁵

≤ + + =

, suy ra

^x

≥

^{134, 4.}

. (1)

2

6

3

x xDo

[ ]

^{x ≥ −x 1 nên 224}

(

¹

)

^{1 1 5 3}> − + − +   − = − , suy ra ^{x≤136, 2}

( )

² x     x2 6 3Do

x

là số nguyên nên từ (1) và (2) suy ra ^x∈

{

^{135;136 .}

}

Thử vào phương trình đã cho, ta được

x

=

135.

Bài toán 3. Giải phương trình

[ ] [ ] [ ]

^{x + 2x + 3x + +...}

[

^2009x

]

^=4036082.Nhận xét rằng

[ ]

^{x ≤ < +x}

[

^{x 1}

]

suy ra ^{k x}

[ ]

^{≤kx<k x}

[ ]

^+k nên

^{k x}

[ ] [ ] [ ]

^≤

^kx

^≤

^{k x}

^{+ −}

^k

¹

(

^k

^∈

^Z

⁺

)

^.

Do đó thay

k

=

1, 2,..., 2009

rồi cộng theo vế ta có

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

≤

+

+ +

≤

+

2019045

2

...

2009

2019045

2017036.

[ ] [ ]

≤

≤

+

2019045

4036082

2019045

2017036.

Lại có 4036082=2019045 2017037.+ Do đó phương trình vô nghiệm.



    

−

  

= −



x

−

x

x

Bài toán 4. Giải phương trình

²

¹

²

²

.









3

Nếu a là số nguyên thì

[ ]

^{− = − = −a a}

[ ]

^{a .}Nếu a không nguyên thì ^0<

{ }

^{a <1, nên − < −1}

{ }

^{a <0, suy ra }_⁻

{ }

^{a }_^{= −1.}Ta có

[ ]

^{− = −}

^a

^

_

( [ ]

^a

⁺

{ }

^a

)

^{ }

_

^{= −}

_

[ ]

^a

^

_

^{+ −}

^

_

{ }

^a

^

_

^{= −}

[ ]

^a

⁺

^1.

  − ∈

2

2

,   Do đó: − = 

2

x    − − ∉