8 17 5MÀ 8N+17> ⇒5 8N+17 LÀ HỢP SỐ. CH IN H P H Ụ C K Ỳ...

19.8 17 5Mà 19.8

ⁿ

+17> ⇒5 19.8

ⁿ

+17 là hợp số.

CH IN H P H Ụ C K Ỳ T H I H Ọ C S IN H GI Ỏ I C ẤP H AI

Bài toán 4. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 8. Chứng min rằng :

(

³

^p

⁻²

^p

^{−1 42}

)

^{ p}Hướng dẫn giải Ta có 42p=2.3.7.9 đề chứng minh A=3

^p

−2

^p

−1 chia hết cho 42p ta chỉ cần chỉ ra rằng A chia hết cho 2,3,7 Thật vậy Ta có ^A≡1

^p

^{− − =0 1 0 mod 2}

( )

^{⇒ A}²Vì p là số nguyên tố lớn hơn 8 nên p là số lẻ :

( )

2

1

2 1 3

^p

2

^k

1 0 4 .2 1

^k

1.2 1 3 0 mod 3 3p= k+ ⇒ =A −

⁺

− ≡ − − ≡ − − ≡ − ≡ ⇒ AMặt khác ^A=3

²

^k

⁺

¹

⁻²

²

^k

⁺

¹

^{− =1 3.9}

^k

⁻²

²

^k

⁺

¹

^{− ≡1 3.2}

^k

⁻²

²

^k

⁺

¹

^{− = −1}

(

²

^k

^{−1 2}

)(

²

^k

⁺

¹

^{−1 mod 7}

) ^{( )}

Do p=2k+3 không chia hết cho 3⇒k3 ^hoặc k+1 3Ta xét các trường hợp sau: Trường hợp 1 Nếu ^{k=3h h}

(

^∈N

)

^⇒2

^k

^{− =1 8}

^h

^{−1 7} Trường hợp 2 Tương tự nếu k+1 3 ⇒2

^k

⁺

¹

−1 7 Vậy trong mọi trường hợp ta đều có A7Theo định lý Fermat ta có ^A=3

^p

⁻²

^p

^{− =1}

(

³

^p

^{− −3}

) (

²

^p

⁻²

)

^pTừ đó suy ra điều phải chứng minh.  Dạng 8: Sử dụng đồng dư thức trong các bài toán giải phương trình nghiệm nguyên * Cơ sở phương pháp: Trong giải phương trình nghiệm nguyên việc lựa chọnmôđun một cách thích hợp sẽ giúp việc giải các phương trình khó phức tạp trở nên đơn giản hơn. Đặc biệt là các bài toán chứng minh phương trình nghiệm nguyên vô nghiệm. * Ví dụ minh họa:Bài toán 1. Chứng minh rằng các phương trình sau không có nghiệm nguyên: a)x

²

– y

²

= 1998 b) x

²

+ y

²

= 1999- Nhận xét: Số chính phương chia cho 4 chỉ có số dư 0 hoặc 1

CH UY ÊN Đ Ề S Ố H Ọ C

≡



 ⇒ − ≡



2

x

0,1 mod 4

a) Ta có:

( )

2

2

x

y

0,1,3 mod 4

( ) ( )

≡



y

0,1 mod 4

Mà 1998 chia cho 4 dư 2, nên phương trình không có nghiệm nguyên.



≡

 ⇒ + ≡



b) Ta có:

( )

x

y

0,1,2 mod 4

Mà 1999 chia cho 4 dư 3, nên phương trình không có nghiệm nguyên. Bài toán 2. Giải phương trình nghiệm nguyên: x

²

=2y

²

−8y 3+ (1) Ta có: (1) ⇔x

²

=2(y 2)−

²

−5- Nhận xét: Số chính phương chia cho 8 chỉ có số dư 0, 1 hoặc 4 Ta có:

^x

²

≡

0,1,4 mod 8

( )

( ) ( ) ( ) ( )

−

≡

⇒

−

≡



 ⇒



−

− ≡

y

2

0,1,4 mod 8

2 y

2

0,2 mod 8

2 y

2

5

3,5 mod 8

(

²

)

²

( )

²

( )

− ≡



5

3 mod 8

Suy ra phương trình không có nghiệm nguyên. Bài toán 3. Phương trình z

²

=(x

²

−1).(y

²

− +1) 2013 có nghiệm nguyên dương hay không? Ta có:  ≡ ⇒ − ≡  ⇒ − − ≡ x 0,1, 4(mod 8) x 1 0,3,7(mod 8)

( )( )

x 1 y 1 0,1,5(mod 8)≡ ⇒ − ≡  y 0,1, 4(mod 8) y 1 0,3,7(mod 8)≡ 2013 5(mod 8)

(

^x

²

^{1 y}

)(

²

¹

)

2013 5,6,2(mod 8)⇒ − − + ≡Mà z

²

≡0,1, 4(mod 8) Dạng 9: Sử dụng các định lý (ta thừa nhận không chứng minh) * Cơ sở phương pháp: