NẾU Y = 2T(T∈N) THÌ 2X1+1=52T− =1 25T −1 3 , VÔ LÝ VẬY Y LẺ, KH...

1

.Nếu y = 2t

(

^t

^∈

^N

)

thì

2

^x

¹

⁺

¹

=

5

²

^t

− =

1

25

^t

−

1 3



, vô lý Vậy y lẻ, khi đó 2

^x

¹

⁺

¹

=5

^y

− =1 4(5

^y

⁻

¹

+5

^y

⁻

²

+ + +... 5 1). Nếu

y

>

1

thì

5

^y

⁻

¹

+

5

^y

⁻

²

+ +

.. 1

,lẻ (vô lý). Nếu y= ⇒ =1 x

₁

1 khi đó

x

=

2;

y

=

1

.

CH IN H P H Ụ C K Ỳ T H I H Ọ C S IN H GI Ỏ I C ẤP H AI

Thử lại

2

^x

+

5

^y

=

2

²

+ =

5

¹

9

là số chính phương Vậy

x

=

2;

y

=

1

hoặc x = 3, y = 0. Bài toán 3. Giả sử rằng 2n+1 và 3n+1 là các số chính phương. Chứng minh rằng 5n+3 là một hợp số. Hướng dẫn giải Giả sử

2

n

+ =

1

a

²

và

3

n

+ =

1

b

²

với

a b

,

∈



*

. Khi đó ^{5n+ =3 4 2}

(

^{n+ −1}

) (

^{3n+ =1}

)

^4a

²

^−b

²

⁼

(

^{2a b−}

)(

^{2a b+}

)

. Do ^a

²

^≡1

(

^mod2

)

nên ^a

²

^≡1

(

^{mod 4}

)

. Suy ra ^{n≡0 mod 2}

( )

và ^{b≡1 mod 2}

( )

. Do đó 2a b− >1và 2a b+ >1 . Vậy 5n+3 là hợp số. Bài toán 3. Tìm nghiệm nguyên dương x để 3

^x

+171 là số chính phương. (HSG Lai Châu 2015 - 2016) Ta có: ³

^x

^{≡1, 3}

(

^mod8

)

; ^y

²

^{≡0,1, 4}

(

^mod8

)

. Mà: 3

^x

+171=y

²

^⇒3

^x

^≡1

(

^mod8

)

. Do đó: x có dạng 2k

(

k^∈

)

. Phương trình trở thành ^A=

( )

³

^k

²

^+171=y

²

với k = 0, 1, 2 thì phương trình vô nghiệm nênnếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó phải ≥3. Do đó theo nguyên lý kẹp được ta có: ^_

( )

³

^k

²

^+3_

²

^{≥ >a}

( )

³

^k

²

^.Khi đó: ^A=_

( )

³

^k

²

^+3_

²

^{hoặc A=}_

( )

³

^k

²

^+2_

²

Giải từng trường hợp ra ta được k = 3 ⇒ = ⇒ =x 6 y 30. Vậy x = 6.  Dạng 7: Sử dụng đồng dư thức trong các bài toán về số nguyên tố, hợp số * Cơ sở phương pháp: Đối với nhiều bài toán về số nguyên tố và hợp số ngoài sử dụngcác tính chất về số nguyên tố chúng ta còn phải vận dụng các tính chất của đồng dư thức và định lý Fermat. * Ví dụ minh họa:Bài toán 1. Tìm tất cả các số nguyên tố p _{sao cho} p

²

+14 là số nguyên tố

CH UY ÊN Đ Ề S Ố H Ọ C

Ta xét hai trường hợp sau Trường hợp 1 Với p= ⇒3 p

²

+14=23 là số nguyên tố Trường hợp 2 Với ^{p≠ ⇒3 p}

²

^{≡1 mod 3}

( )

^{⇒ p}

²

^{+14 3}

(

^p

²

^+14>3

)

^{⇒ p}

²

⁺¹⁴ không phải là số nguyên tố.Vậy p=3. Bài toán 2. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên tố p đều tồn tại vô số số tự nhiên n sao cho 2

ⁿ

−n p ^. Nếu ^{p= ⇒2 2}

ⁿ

⁻ⁿ²

(

^{∀ =n 2 ;k k∈N}

)

Nếu ^{p> ⇒2 2}

^p

⁻

¹

^{≡1 mod}

(

^p

)

Theo định lý Fermat^⇒2

⁽

^p

⁻

¹

⁾

^k

⁻

(

^p−1

)

^{k≡ +1 k}

(

^modp

)(

^{∀ ∈k N}

)

Do đó với mọi số tự nhiên n có dạng ⁿ⁼

(

^p−1

)(

^hp−1

) (

^k∈N

^*

)

Ta có ²

ⁿ

^{− ≡ +n 1}

(

^{hp− ≡1}

) (

^{0 modp}

)

^{tức là 2}

ⁿ

^{−n p}Bài toán 3. Cho n∈N

^*

chứng minh rằng: 19.8

ⁿ

+17 là hợp số. Ta xét các trường hợp sau Nếu ^n=2k⇒19.8

ⁿ

^+17≡1.

( )

⁻¹

²

^k

^{+ = ≡2 3 0 mod 3}

( )

^⇒19.8

ⁿ

^{+17 3}Mặt khác 19.8

ⁿ

+17> ⇒3 19.8

ⁿ

+17 là hợp số.

( )

²

( )

4

1

2

4 1 19.8

ⁿ

17 19.8

^k

17 19.8.64

^k

17 6.8. 1

^k

4 52 0 mod13n= k+ ⇒ + =

⁺

+ = + ≡ − + ≡ ≡ Mà