TA CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ĐÚNG VỚI N = K +1 (THAY N = K+1...

3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần

chứng minh rồi biến đổi để dùng giả thiết quy nạp)

4 – kết luận BĐT đúng với mọi

n>n

₀

Ví dụ1:

Chứng minh rằng

2 1.... 11

2

2

+ + + < −

∀n∈N;n>1

(1)

2n

Giải :

1+1 < −

(đúng)

Với n =2 ta có

4

Vậy BĐT (1) đúng với n =2

Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh

BĐT (1) đúng với n = k+1

Thật vậy khi n =k+1 thì

(1)

^⇔

++ k k k

2

< − +)(+ +

Theo giả thiết quy nạp

^⇔+ k k k k k+ <−

( )

1

1

.... 1

+

2

2

2

<

)

(

( k ) ^k

< +

+ +

k

1 < ⇔ + < +k ⇔

k

²

+2k<k

²

+2k+1 Điều này đúng .Vậy bất

^⇔

₂

1 ( 2) ( 1)

²

k k

đẳng thức (1)đ−ợc chứng minh

Ví dụ2:

Cho

n∈N

và a+b> 0

b

n

  +

n

n

ba +a 

(1)

2 ≤



Giải

Ta thấy BĐT (1) đúng với n=1

Giả sử BĐT (1) đúng với n=k ta phải chứng minh BĐT đúng với n=k+1

Thật vậy với n = k+1 ta có

1

+

1

+

k

b

+

+

^k

a+b

^k

a

(1)

^⇔≤

ba

(2)

a

^k

+

^⇔≤

. 2

1

+

+

+

k

b a b a ab a b b a b

+

+= ++

^k

^k

^k

^k

^k

^k

^k

⇔

Vế trái (2)

≤

+ ≤

+

k

k

k

k

k

k

b a ab a b b− ++

⁺

⁺

⁺

^⇔ 0+ ≥

⇔

(

a

^k

−b

^k

)

.

(

a−b

)

≥0

(3)

Ta chứng minh (3)

(+) Giả sử a

^≥

b và giả thiết cho a

^≥

-b

^⇔

a

^≥ b

^⇔ a

^k

≥ b

^k

≥b

^k

^⇒

(

a

^k

−b

^k

)

.

(

a−b

)

≥0

(+) Giả sử a < b và theo giả thiết - a<b

^⇔

a

^k

<b

^k

⇔a

^k

<b

^k

⇔

(

a

^k

−b

^k

)

.

(

a−b

)

≥0

Vậy BĐT (3)luôn đúng ta có (đpcm)

Ph−ơng pháp 11: Chứng minh phản chứng

L−u ý: