TÌM CÁC SỐ NGUYÊN X,Y,Z THOẢ M`N X2+Y2+Z2 ≤XY+3Y+2Z−3...

1) Tìm các số nguyên x,y,z thoả m`n

x

²

+y

²

+z

²

≤xy+3y+2z−3

Giải :

Vì x,y,z là các số nguyên nên

x

²

+y

²

+z

²

≤xy+3y+2z−3

2

2

2

3 2 3 0⇔ + + − − − + ≤x y z xy y z

2

2

   3 3 3 2 1 0y y

( )

⇔ − +  + − + + − + ≤x xy y z z4 4   3 1 1

2

0

( )

⇔ −  +  −  + − ≤x z2 2   

(*)

Mà ( )

− + − + − ≥      

∀x y, ∈R⇔ −  +  −  + − = − =x y2 0 1  = x1 0 2⇔ − = ⇔ =2 1 0 1 − =  =z z1 = =

Các số x,y,z phải tìm là

2 =yz

Ví dụ 2:

Tìm nghiệm nguyên d−ơng của ph−ơng trình

^{1 1 1} 2x+ y+z =

Giải :

Không mất tính tổng quát ta giả sử

x≥y≥z

Ta có

2 ^{1 1 1 3} 2z 3= + + ≤ ⇒ ≤x y z z

Mà z nguyên d−ơng vậy z = 1

Thay z = 1 vào ph−ơng trình ta đ−ợc

^{1 1} 1x+ y =

Theo giả sử x

≥

y nên 1 =

^{1 1}x+ y 1≤ y ⇒ y≤2

mà y nguyên d−ơng

Nên y = 1 hoặc y = 2

Với y = 1 không thích hợp

Với y = 2 ta có x = 2

Vậy (2 ,2,1) là một nghiệm của ph−ơng trình

Hoán vị các số trên ta đ−ợc các nghiệm của ph−ơng trình

là (2,2,1) ; (2,1,2) ; (1,2,2)

Ví dụ 3 :

Tìm các cặp số nguyên thoả m`n ph−ơng trình

x+ x =y

(*)

Giải :

(*) Với x < 0 , y < 0 thì ph−ơng trình không có nghĩa

(*) Với x > 0 , y > 0

Ta có

x+ x =y

⇔x+ x = y

²

⇔ x = y

²

− >x 0

Đặt

x =k

(k nguyên d−ơng vì x nguyên d−ơng )

Ta có

k k.( +1)= y

²

Nh−ng

^k

²

^{<k k}

(

⁺¹

) (

^{< k+1}

)

²

⇒k< y<k+1

Mà giữa k và k+1 là hai số nguyên d−ơng liên tiếp không tồn tại một số nguyên

d−ơng nào cả

Nên không có cặp số nguyên d−ơng nào thoả m`n ph−ơng trình .

Vậy ph−ơng trình có nghiệm duy nhất là :

⁰ =0