TÌM CÁC SỐ NGUYÊN X, Y, Z THỎA MÃN X2 + Y2 + Z2 + 3 < XY + 3Y + 2Z...
Bài 4: Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn x
2
+ y
2
+ z
2
+ 3 < xy + 3y + 2z
Giải: x
2
+ y
2
+ z
2
+ 3 < xy + 3y + 2z ⇔ x
2
+ y
2
+ z
2
+ 3 – xy – 3y – 2z < 0
4x
2
+ 4y
2
+ 4z
2
– 4xy – 12y – 8z + 12 < 0
⇔ (4x
2
– 4xy + y
2
) + (3y
2
– 12y + 12) + (4z
2
– 8z + 4) < 4
⇔(2x – y)
2
+ 3(y – 2)
2
+ 4(z – 1)
2
< 4
Nếu z ≠ 1 thì 4(z – 1)
2
≥ 4. Suy ra VT ≥ VP, không thỏa đề bài nên z = 1. Bất
phương trình trên trở thành: (2x – y)
2
+ 3(y – 2)
2
< 4 (*)
Nếu
y
2
2
thì VT > VP nên
y
2 1
2
x
(2
1)
1
(2
3)
1
không có nghiệm
TH
y
2 1
⇒ y = 3 hoặc y = 1 khi đó (*) ⇔
nguyên
TH
y
2 0
⇒ y = 2 khi đó (*)⇔ (2x – 2)
2
< 4⇔ (x – 1)
2
< 1⇔ x= 1
Vậy các số nguyên (x, y, z) là (1; 2; 1)