DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ TÌM C−C TRỊ L−U Ý - NẾU F(X)...

1/ dùng bất đẳng thức để tìm c−c trị

L−u ý

- Nếu f(x)

^≥

A thì f(x) có giá trị nhỏ nhất là A

- Nếu f(x)

^≤

B thì f(x) có giá trị lớn nhất là B

Ví dụ 1 :

Tìm giá trị nhỏ nhất của :

T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4|

Giải :

Ta có |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x|

^≥

|x-1+4-x| = 3 (1)

Và

x−2 + x−3 = x−2+ 3−x ≥ x− + −2 3 x =1

(2)

Vậy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4|

^≥

1+3 = 4

Ta có từ (1)

⇒

Dấu bằng xảy ra khi

1≤x≤4

(2)

⇒

Dấu bằng xảy ra khi

2≤x≤3

Vậy T có giá trị nhỏ nhất là 4 khi

2≤x≤3

Ví dụ 2 :

Tìm giá trị lớn nhất của

S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) với x,y,z > 0 và x+y+z =1

Giải :

Vì x,y,z > 0 ,áp dụng BĐT Côsi ta có

x+ y + z

≥3

³

xyz

³

^{1 1}⇒ ≤ ⇒ ≤xyz xyz3 27

áp dụng bất đẳng thức Côsi cho x+y ; y+z ; x+z ta có

(

^x+y

) (

^{. y+z}

) (

^{. z+x}

)

^≥3

³

(

^x+y

) (

^{. y+z}

) (

^{. x+z}

)

^{⇒2 3≥}

³

(

^x+y

) (

^{. y+z}

) (

^{. z+x}

)

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=

¹3

Vậy S

^{≤ 8 1}. ⁸27 27 =729

Vậy S có giá trị lớn nhất là

⁸729

khi x=y=z=

¹

Ví dụ 3 : Cho xy+yz+zx = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của

x

⁴

+y

⁴

+z

⁴

Giải :

áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho 6 số (x,y,z) ;(x,y,z)

Ta có (

^xy+yz+zx

)

²

^≤

(

^x

²

^+y

²

^+z

²

)

²

^⇒1≤

(

^x

²

^+y

²

^+z

²

)

²

(1)

Ap dụng BĐT Bunhiacốpski cho (

x

²

,y z

²

,

²

) và (1,1,1)

2

2

2 2

2

2

2

4

4

4

( ) (1 1 1 )( )+ + ≤ + + + +x y z x y z

Ta có

2

2

2 2

4

4

4

( ) 3( )→ + + ≤ + +

Từ (1) và (2)

⇒1 3(≤ x

⁴

+y

⁴

+z

⁴

)

⁴

⁴

⁴

¹⇒ + + ≤x y z 3

Vậy

x

⁴

+y

⁴

+z

⁴

có giá trị nhỏ nhất là

¹3

khi x=y=z=

³± 3

Ví dụ 4 :

Trong tam giác vuông có cùng cạnh huyền , tam giác vuông nào có diện tích

lớn nhất

Gọi cạnh huyền của tam giác là 2a

Đ−ờng cao thuộc cạnh huyền là h

Hình chiếu các cạnh góc vuông lên cạnh huyền là x,y

Ta có S =

^1.

( )

^{. . .}

²

^.2 x+y h=a h=a h =a xy

Vì a không đổi mà x+y = 2a

Vậy S lớn nhất khi x.y lớn nhất

⇔x= y

Vậy trong các tam giác có cùng cạnh huyền thì tam giác vuông cân có diện tích lớn

nhất

Ii/ dùng b.đ.t để giải ph−ơng trình và hệ ph−ơng trình

Ví dụ 1 :

Giải ph−ơng trình sau

4 3x

²

+6x+19+ 5x

²

+10x+14 4 2= − x−x

²

Giải :

Ta có

3x

²

+6x+19 =3.(x

²

+2x+1) 16+

=3.(x+1)

²

+16 16≥

^5x

²

^{+10x+14 5.=}

(

^x+1

)

²

^{+ ≥9 9}

Vậy

4. 3x

²

+6x+19+ 5x

²

+10x+14 2 3 5≥ + =

Dấu ( = ) xảy ra khi x+1 = 0

⇒

x = -1

Vậy

4 3x

²

+6x+19+ 5x

²

+10x+14 4 2= − x−x

²

khi x = -1

Vậy ph−ơng trình có nghiệm duy nhất x = -1

Ví dụ 2 :

Giải ph−ơng trình

x+ 2−x

²

=4y

²

+4y+3

Giải :

áp dụng BĐT BunhiaCốpski ta có :

^{x+ 2−x}

²

^{≤ 1}

²

^{+1 .}

²

^x

²

⁺

(

^2−x

²

)

^{≤ 2. 2 2=}

Dấu (=) xảy ra khi x = 1

Mặt khác

^4y

²

^{+4y+ =3}

(

^2y+1

)

²

^{+ ≥2 2}

Dấu (=) xảy ra khi y = -

¹2

Vậy

x+ 2−x

²

=4y

²

+4y+ =3 2

khi x =1 và y =-

¹1 =x

Vậy nghiệm của ph−ơng trình là

 = −y

Ví dụ 3 :

Giải hệ ph−ơng trình sau:

+ + =

₄

^x

₄

^{y z}

₄

¹x y z xyz

Giải : áp dụng BĐT Côsi ta có

4

4

4

4

4

4

+ + +x y y z z x

4

4

4

x 2 2 2+ + = + +y z

2

2

2 2

2 2

≥ + +x y y z z x

2

2

2 2

2

2

2 2

2 2

2 2

x y y z z y z z x z y x2 2 2

2

2

2

y xz z xy x yz.( )xyz x y z

Vì x+y+z = 1)

Nên

x

⁴

+y

⁴

+z

⁴

≥xyz

Dấu (=) xảy ra khi x = y = z =

¹

Vậy

₄

^x

₄

^{y z}

₄

¹

có nghiệm x = y = z =

¹

Ví dụ 4 : Giải hệ ph−ơng trình sau

 − = −xy y

^{4 8}

₂

²

 = +(2)xy x

⁽¹⁾

Từ ph−ơng trình (1)

⇒8−y

²

≥0

hay

y ≤ 8

Từ ph−ơng trình (2)

⇒x

²

+ =2 x y. ≤2 2 x

2

2

⇒ − + ≤2 2 2 0x x

2

⇒ − ≤( 2) 0

⇒ =⇒ = ±

Nếu x =

2

thì y = 2

2

Nếu x = -

2

thì y = -2

2

Vậy hệ ph−ơng trình có nghiệm

²2 2 = −

và

^{2 2}

Iii/ dùng B.Đ.t để giải ph−ơng trình nghiệm nguyên