CHO HÌNH VUÔNG CẠNH A , TÂM O . GỌI S LÀ MỘT ĐIỂM Ở NGOÀI MẶT PHẲNG...

Question

7. Cho hình vuông cạnh a , tâm O . Gọi S là một điểm ở ngoài mặt phẳng (ABCD) sao cho SB = SD. Gọi M là điểm tùy ý trên AO với AM = x . mặt phẳng (α ) qua M song song với SA và BD cắt SO , SB , AB tại N, P , Q .a. Tứ giác MNPQ là hình gì ?b. Cho SA = a . Tính diện tích MNPQ theo a và x . Tính x để diện tích lớn nhất Giảia. Tứ giác MNPQ là hình gì ?:Ta có : SB = SD ⇒ ∆ SBC = ∆ SDC (c-c-c)Gọi I là trung điểm SC Xét ∆ IBC và ∆ IDC STa có : IC cạnh chung BC = CDDCI = BCI⇒ ∆ IBC = ∆ IDCNP I⇒ IB = ID⇒ ∆ IBD cân tại IDA⇒ IO ⊥ BDMà OI // SA ⇒ SA ⊥ BD (*)MQ OαBD//)(  ⇒⊂ABOMQTa có : // ( 1 )B C=∩NPSBOTương tự : // ( 2 )Từ (1) và (2) , suy ra MQ // NP // BD (3)Trang 29SAMNSAOMặt khác : // ( 4 )SABPQTương tự : // ( 5 )Từ (4) và (5) , suy ra MN // PQ // SA (6)Từ (3) , (6) và (*), suy ra MNPQ là hình chữ nhật Vậy : MNPQ là hình chữ nhật b. Tính diện tích MNPQ theo a và x:Ta có : SMNPQ = MQ . MNTính MQ :Xét tam giác AQM :0Αˆ 45 Q ⇒ ∆Ta có : AQMcân tại M ⇒ MQ = AM = xMˆ 90 Xét tam giác SAO : 2a xMN − = −OMAS OM⇒.Ta có : MN // SA ⇒ . 2OA aOA MN. a xASa) 1SMNPQ = = − = −.(. MN x a x x a x⇒ . 2 ( . 2 )Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương x . 2 và a − x . 2( x . + a − xx − ≤ )2²≤ 4SMNPQ ≤ a = ⇒ MNPQmã =1 a. ²a S⇒ 4 . 24x = a =⇔Đẳng thức xảy ra khi x . 2 = a − x . 2⇔ M là trung điểm AOx = a thì SMNPQ đạt giá trị lớn nhất.Vậy :

Answer

7. Cho hình vuông cạnh a , tâm O . Gọi S là một điểm ở ngoài mặt phẳng (ABCD) sao cho SB = SD. Gọi M là điểm tùy ý trên AO với AM = x . mặt phẳng (α ) qua M song song với SA và BD cắt SO , SB , AB tại N, P , Q .a. Tứ giác MNPQ là hình gì ?b. Cho SA = a . Tính diện tích MNPQ theo a và x . Tính x để diện tích lớn nhất Giảia. Tứ giác MNPQ là hình gì ?:Ta có : SB = SD ⇒ ∆ SBC = ∆ SDC (c-c-c)Gọi I là trung điểm SC Xét ∆ IBC và ∆ IDC STa có : IC cạnh chung BC = CDDCI = BCI⇒ ∆ IBC = ∆ IDCNP I⇒ IB = ID⇒ ∆ IBD cân tại IDA⇒ IO ⊥ BDMà OI // SA ⇒ SA ⊥ BD (*)MQ OαBD//)(  ⇒⊂ABOMQTa có : // ( 1 )B C=∩NPSBOTương tự : // ( 2 )Từ (1) và (2) , suy ra MQ // NP // BD (3)Trang 29SAMNSAOMặt khác : // ( 4 )SABPQTương tự : // ( 5 )Từ (4) và (5) , suy ra MN // PQ // SA (6)Từ (3) , (6) và (*), suy ra MNPQ là hình chữ nhật Vậy : MNPQ là hình chữ nhật b. Tính diện tích MNPQ theo a và x:Ta có : SMNPQ = MQ . MNTính MQ :Xét tam giác AQM :0Αˆ 45 Q ⇒ ∆Ta có : AQMcân tại M ⇒ MQ = AM = xMˆ 90 Xét tam giác SAO : 2a xMN − = −OMAS OM⇒.Ta có : MN // SA ⇒ . 2OA aOA MN. a xASa) 1SMNPQ = = − = −.(. MN x a x x a x⇒ . 2 ( . 2 )Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương x . 2 và a − x . 2( x . + a − xx − ≤ )2²≤ 4SMNPQ ≤ a = ⇒ MNPQmã =1 a. ²a S⇒ 4 . 24x = a =⇔Đẳng thức xảy ra khi x . 2 = a − x . 2⇔ M là trung điểm AOx = a thì SMNPQ đạt giá trị lớn nhất.Vậy :