TRONG MẶT PHẲNG (Α ) CHO TAM GIÁC ABC VUÔNG TẠI A , Bˆ = 600, AB =...
6. Trong mặt phẳng (α ) cho tam giác ABC vuông tại A , Bˆ = 60
0
, AB = a .Gọi O là trung điểm của
P
BC . Lấy điểm S ở ngoài mặt phẳng (α ) sao cho SB = a và SB ⊥ OA . Gọi M là mọt điểm trên
cạnh AB , mặt phẳng (β) qua M song song với SB và OA , cắt BC ,SC , SA lần lượt tại N , P , Q .
Đặt x = BM ( 0 < x < a ) .
a. Chứng minh MNPQ là hình thang vuông
O
b. Tính diện tích của hình thang theo a và x .
N
B C
Tính x để diện tích này lớn nhất .
Q
Giải
M
A
α
Trang 27
a. Chứng minh MNPQ là hình thang vuông :
β
//
OA
(
)
⊂
⇒
ABC
MN
Ta có : // ( 1 )
=
∩
SB
SAB
MQ
2
SBC
NP
3
Từ (2) và (3) ,suy ra MQ // NP // SB (4)
⇒ MNPQ là hình thang
⊥
⇒ ⊥
Từ (1) và (4) , ta có :
⊥
Vậy : MNPQ là hình thang vuông , đường cao MN.
b. Tính diện tích của hình thang theo a và x .
1 +
Ta có : S
MNPQ
( MQ NP ). MN
Tính MN :
Xét tam giác ABC
B = AB
BC AB
cos ⇒
Ta có :
BC
B
= cos
⇒ ⇒ BO = a
a
BC = 2
ˆ đều
= 60
0
B ⇒ ∆
Do ABO
BA
BO
BM
MN = =
BN
Có MN // AO ⇒
AO
AB
⇒
x
MB
MN = = =
Tính MQ :
Xét tam giác SAB , ta có : MQ // SB
AM SB
x a
MQ = ⇒ a x
AM
AB a
⇒ AB
MQ = . = ( − ). = −
Tính NP :
Xét tam giác SBC , ta có : NP // SB
CN SB
NP = ⇒
CN
. a x
CB a
⇒ CB
NP = = − = −
). 2
( a x x a x
1
S
MNPQ
= x − = −
4
Do đó : . 3 .( 4 3 )
12
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương 3x và 4a − 3x
( 3 x + a − x
3x.( 4a − 3x) ≤ )
2
≤ 4a²
1 a
² ²
S
MNPQ