Bài 7.
Cho hàm số y = x − 2
x + 1 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại A, B sao
cho bán kính vòng tròn nội tiếp tam giác OAB lớn nhất
Giải
Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng x = −1 và tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1.
Giao điểm hai đường tiệm cận I (−1; 1). Giả sử tiếp tuyến cần lập tiếp xúc với đồ thị tại điểm có hoành độ
x 0 , phương trình tiếp tuyến có dạng: y = 3
x 0 + 1
(x 0 + 1) 2 (x − x 0 ) + x 0 − 2
−1; x 0 − 5
, và cắt tiệm cận đứng tại điểm B (2x 0 + 1; 1).
Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng x = −1 tại điểm A
x 0 − 5
= 6
Ta có:IA =
|x 0 + 1| ; IB = |2x 0 + 1 − (−1)| = 2|x 0 + 1|
x 0 + 1 − 1
Nên: IA.IB = 6
|x 0 + 1| .2 |x 0 + 1| = 12. Do vậy, diện tích tam giác IAB là: S = 1
2 IA.IB = 6.
Gọi p là nửa chu vi tam giác IAB, thì bán kính đường tròn nội tiếp tam giác này là:r = S
p = 6
p .
Bởi vậy, r lớn nhất khi và chỉ khi p nhỏ nhất. Mặt khác, tam giác IAB vuông tại I nên:
3 + 2 √
6
IA 2 + IB 2 ≥ 2 √
2IA.IB = = 4 √
IA.IB + √
2p = IA + IB + AB = IA + IB + √
Dấu ’=’ xảy ra khi IA = IB ⇔ (x 0 + 1) 2 = 3 ⇔ x = −1 ± √
3
- Với x = −1 − √
3 ta có tiếp tuyến: d 1 : y = x + 2 1 + √
3
- Với x = −1 + √
3 ta có tiếp tuyến: d 1 : y = x + 2 1 − √
Bạn đang xem bài 7. - Tổng hợp các câu hỏi phụ về khảo sát hàm số luyện thi THPT quốc gia | Đề thi THPT quốc gia, Sinh học - Ôn Luyện
