CHO HÀM SỐY= X−2X+1. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ BIẾ...
Bài 7.
Cho hàm số
y
=
x
−
2
x
+
1
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến cắt
Ox,
Oy
tại
A,
B
sao
cho bán kính vòng tròn nội tiếp tam giác
OAB
lớn nhất
Giải
Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng
x
=
−1
và tiệm cận ngang là đường thẳng
y
=
1.
Giao điểm hai đường tiệm cận
I
(−1; 1). Giả sử tiếp tuyến cần lập tiếp xúc với đồ thị tại điểm có hoành độ
x
0
, phương trình tiếp tuyến có dạng:
y
=
3
x
0
+
1
(x
0
+
1)
2
(x
−
x
0
) +
x
0
−
2
−1;
x
0
−
5
, và cắt tiệm cận đứng tại điểm
B
(2x
0
+
1; 1).
Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng
x
=
−1
tại điểm
A
x
0
−
5
Ta có:IA
=
=
6
|x
0
+
1|
;
IB
=
|2x
0
+
1
−
(−1)|
=
2|x
0
+
1|
x
0
+
1
−
1
Nên:
IA.IB
=
6
|x
0
+
1|
.2
|x
0
+
1|
=
12. Do vậy, diện tích tam giác
IAB
là:
S
=
1
2
IA.IB
=
6.
Gọi
p
là nửa chu vi tam giác
IAB, thì bán kính đường tròn nội tiếp tam giác này là:r
=
S
p
=
6
p
.
Bởi vậy,
r
lớn nhất khi và chỉ khi
p
nhỏ nhất. Mặt khác, tam giác
IAB
vuông tại
I
nên:
6
3
+
2
√
IA.IB
+
√
2IA.IB
= =
4
√
2p
=
IA
+
IB
+
AB
=
IA
+
IB
+
√
IA
2
+
IB
2
≥
2
√
Dấu ’=’ xảy ra khi
IA
=
IB
⇔
(x
0
+
1)
2
=
3
⇔
x
=
−1
±
√
3
- Với
x
=
−1
−
√
3
ta có tiếp tuyến:
d
1
:
y
=
x
+
2 1
+
√
3
- Với
x
=
−1
+
√
3
ta có tiếp tuyến:
d
1
:
y
=
x
+
2 1
−
√