ĐẶT A M N= + VÀ B M N . GỌI D LÀ ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT CỦA A VÀ...
Câu 72. Đặt
A m n
=
+
và
B m n . Gọi d là ước chung lớn nhất của A và B với
=
2
+
2
d 1
≥
.
Khi đó ta có
A d; B d
hay ta được
m n d; m
+
2
+
n d
2
.
Ta lại có
A B
2
− =
(
m n
+
)
2
−
(
m
2
+
n
2
)
=
2mn
. Mà
(
A
2
−
B d
)
nên suy ra
2mn d
.
Lại có
m n d
+
nên
2n m n d
(
+
)
⇒
2mn 2n d
+
2
Kết hợp với
2mn d
ta được
2n d
2
. Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được
2m d
2
.
CH
IN
H
P
H
Ụ
C
K
Ỳ
T
H
I H
Ọ
C S
IN
H
G
IỎ
I C
Ấ
P H
A
I
Theo bài ra thì m và n nguyên tố cùng nhau nên m và n không cùng tính chẵn. Ta xét các
trường hợp sau:
•
Trường hợp 1: Trong hai số m và n có một số chẵn và một số lẻ, khi đó
m n
+
là số lẻ
nên từ
m n
+
chia hết cho d ta suy ra được d là số lẻ. Từ đó ta được
m và
2
n
2
cùng chia
hế cho d. Mà ta lại có m và n nguyên tố cùng nhau nên suy ra
d 1
=
.
•
Trường hợp 2: Cả hai số m và n đều là số lẻ, khi đó từ
m n
+
là số chẵn nên từ
m n
+
chia hết cho d với d lớn nhất ta suy ra được d là số chẵn.
Đặt
d 2d'
=
, khi đó từ
2m d
2
và
2n d
2
ta được
m d'
2
và
n d'
2
.
Do m và n nguyên tố cùng nhau nên suy ra
d' 1
=
, do đó
d 2
=
.
Vậy ta có hai kết quả như sau:
+ Nếu trong hai số m và n có một số chẵn và một số lẻ thì
(
m n,m
+
2
+
n
2
)
=
1
+ Nếu cả hai số m và n cùng lẻ thì
(
m n,m
+
2
+
n
2
)
=
2
.