216 : 36 6
mn = = .
Vì m ≤ n ; mn = 6 và ( m n , ) = 1 nên ta có hai trường hợp sau:
• m = 1 và n = 6 ⇒ = a 6.1 = 6 và b = 6.6 = 36 .
• m = 2 và n = 3 ⇒ = a 6.2 = 12 vaf b = 6.3 18 = .
Đổi vai trò của a và b , ta có hai đáp số khác là: a = 36 và b = 6 ; a = 18 và b = 12 .
V ậy bài toán có 4 đáp số:
a 6 12 18 6
b 36 18 12 36
D ạng 2. Các bài toán chứng minh
Ví dụ 6. Cho n ∈ * . Ch ứng tỏ rằng: ( 2 n + 3;3 n + 4 ) = 1 .
Gi ải
Đặt d = ( 2 n + 3;3 n + 4 ) , ta có: ( 2 n + 3 ) d và ( 3 n + 4 ) d
( )
⇒ + và 2 3 ( n + 4 ) d hay ( 6 n + 8 ) d
3 2 n 3 d
( 6 n 9 ) ( 6 n 8 ) d
⇒ + − + hay 1 d
1
⇒ = d
V ậy ( 2 n + 3;3 n + 4 ) = 1
Ví dụ 7. Cho a , b ∈ * ; a > b và ( ) a b , = 1 .
Ch ứng tỏ rằng ( a + b a , − b ) ho ặc bằng 1, hoặc bằng 2.
Đặt d = ( a + b a b , − ) th ế thì: ( a + b d ) và ( a b d − )
T ức là: a + = b d m . ; a b − = d n . (v ới m , n ∈ ; m > n )
Suy ra: 2 a = d m . + d n . ⇒ 2 a d
Và: 2 b = d m . − d n . ⇒ 2 b d
Do đó d ∈ ƯC ( 2 , 2 a b ) ⇒ ( 2 , 2 a b d )
Mà ( 2 , 2 a b ) ( ) = 2 a b , = 2 nên 2 d ⇒ = d 1 ho ặc d = 2 .
V ậy ( a + b a , − b ) ho ặc bằng 1 hoặc bằng 2.
Nh ận xét:
Trong l ời giải trên ta dùng kết quả của một bài toán quen thuộc: “tìm hai số biết tổng
và hi ệu”. Khi đó, 2 lần số lớn bằng tổng cộng hiệu, 2 lần số nhỏ bằng tổng trừ hiệu.
D ạng 3. Các bài toán thực tế
Ví dụ 8. M ột khu đất hình chữ nhật dài 54 m, rộng 48 m. Người ta muốn chia khu đất ấy
thành nh ững mảnh hình vuông bằng nhau để trồng các loại rau. Hỏi có thể chia được
b ằng bao nhiêu cách? Với cách chia nào thì cạnh của mảnh đất hình vuông là lớn nhất
và b ằng bao nhiêu?
G ọi n là độ dài một cạnh của mảnh đất hình vuông được chia ra. Ta có: 54 n và 48 n
⇒ ∈ n ƯC ( 54, 48 . )
L ại có: 54 = 2.3 3 và 48 = 2 .3 4
Nên suy ra: ƯCLN ( 54, 48 ) = Ư ( ) 6 = { 1; 2;3;6 } .
V ậy ta có thể chia khu đất theo 4 cách và cạnh của mảnh đất hình vuông lớn nhất có
th ể là 6 m.
Nh ận xét:
Ta có th ể tính được số mảnh đất hình vuông tạo thành của mỗi cách chia như sau:
Cách Độ dài một cạnh của mảnh
S ố mảnh đất hình vuông tạo thành
đất hình vuông
1 1 m 54.48 = 2592
2 2 m 27.24 = 648
3 3 m 18.16 = 288
4 4 m 9.8 = 72
Ví dụ 9. M ột trường tổ chức cho 64 học sinh đi thi đấu thể thao bằng một số xe ô tô thuộc hai
lo ại: loại xe 12 chỗ ngồi và loại xe 7 chỗ ngồi (không kể người lái xe). Biết rằng số
h ọc sinh đó xếp vừa đủ số ghế ngồi trên các xe. Hỏi mỗi loại xe có mấy chiếc?
G ọi x là s ố xe 12 chỗ và y là s ố xe 7 chỗ ngồi ( x , y ∈ * ).
S ố học sinh đi xe loại 12 chỗ ngồi là 12 x .
S ố học sinh đi xe loại 7 chỗ ngồi là 7 y .
Theo đề ra ta có: 12 x + 7 y = 64 (*)
Ta có: 12 x 4 và 64 4 nên 7 y 4 .
Vì ƯCLN ( ) 7, 4 = 1 nên y 4 .
T ừ (*) ta suy ra: 7 y < 64 ⇒ ≤ y 9 .
Mà y 4 nên y ∈ { } 4;8 .
+ n ếu y = 4 thì thay vào (*) ta được: 12 x + 7.4 = 64
12 x = 64 − 28 = 36
Suy ra x = 36 :12 = 3
+ n ếu y = 8 thì thay vào (*) ta được 12 x + 7.8 = 64
Suy ra 12 x = 64 7.8 − = 8
Suy ra x ∉ * .
V ậy có 3 xe 12 chỗ ngồi và 4 xe 7 chỗ ngồi.
III. BÀI T ẬP
Bạn đang xem 216 : - Chuyên đề ôn tập và bổ túc về số tự nhiên -
