NÂNG CAO• CHO A B N , ∈ VÀ ( ) A B , = D . N ẾU A = DM VÀ B =...

Question

2. Nâng cao• Cho a b N , ∈ và ( ) a b , = d . N ếu a = dm và b = dn thì suy ra: ( m n , ) = 1• Cho a b N , ∈ và [ ] a b , = c . N ếu c = am và c = bn thì suy ra ( m n , ) = 1 .• ( ma mb , ) = m a b ( ) , và [ ma mb , ] = m a b [ ] ,• N ếu ab m  và ( a m , ) = 1 thì b m • N ếu a m  và a n  thì a b m n .  [ ] , đặc biệt nếu a m  và a n  mà ( m n , ) = 1 thì a mn Tích hai s ố bằng tích của BCNN và ƯCLN của chúng: a b . = ( ) a b , . , [ ] a bII. M ỘT SỐ VÍ DỤD ạng 1. Các bài toán về ước chung và bội chung.Ví d ụ 1. Tìm ƯC(28, 70); BC(4; 14). Gi ải + Ta có Ư(28) = {1; 2; 4; 7; 14; 28} Ư(70) = {1; 2; 5; 7; 10; 14; 35; 70} T ừ đó suy ra ƯC(28; 70) = Ư(28) ∩ Ư(70) = {1; 2; 7; 14} + Ta có: B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28;....} B(14) = {0; 14; 28; 42; 56;....}. T ừ đó suy ra: BC(4, 14) = B(4) ∩ B(14) = {0; 28; 56; ...} Nh ận xét: D ựa vào các chú ý trong phần I, ta có thể giải bài toán trên theo cách khác sau đây: + Ta có: 28 2 .7 ; 70 2.5.7 = 2 = ⇒ ƯCLN(28,70) = 2.7 = 14.V ậy ƯC(28,70) = Ư(ƯCLN(28,70)) = Ư(14) = {1; 2; 7; 14} + Ta có: 4 = 2 2 và 14 = 2.7 ⇒ BCNN(4,14) = 2 2 . 7 = 28.V ậy BC(4,14) = B(BCNN(4,14)) = B(28) = {0; 28; 58;...}. Ví d ụ 2: Tìm s ố tự nhiên a, biết rằng 332 chia cho a thì dư 17, còn khi chia 555 cho a thì được dư là 15. Gi ải: Vì 332 chia cho a dư 17 nên 332 – 17 = 315  a và a > 17. Vì 555 chia cho a dư 15 nên 555 – 15 = 540  a và a > 15. ⇒ a ∈ ƯC(315,540)và a > 17.Ta có: 315 = 3 2 . 5.7 và 540 = 2 2 . 3 3 . 5 ⇒ ƯCLN(315,540) = 3 2 . 5 = 45.Do đó : a ∈ ƯC(315, 540) = Ư(45) = {1; 3; 5; 9; 15; 45}. Vì a > 17 nên a = 45. V ậy a = 45 Ví d ụ 3: Tìm s ố tự nhiên nhỏ nhất có bốn chữ số, biết rằng khi chia số đó cho 18; 24 ; 30 có s ố dư lần lượt là 13; 19; 25. G ọi số cần tìm là a, 1000 ≤ ≤ a 9999 . Vì a chia cho 18 dư 13 nên ta có a = 18 . q + 13. ⇒ a + 5 = (18.q + 18)  18.Tương tự, ta cũng có : a + 5 chia hết cho 24 và 30. Do v ậy a + 5 ∈ BC(18,24, 30) ⇒ (a + 5)  BCNN(18, 24, 30). Ta có: BCNN(18, 24, 30) = BCNN(2.3 2 , 2 3 .3, 2.3.5) = 2 3 . 3 2 .5 = 360 ⇒ a + 5  360 hay a + 5 = 360.k v ới k ∈ N*.⇒ a = 360.k – 5. Ta th ấy k càng lớn thì a càng lớn,vì vậy để a là số nhỏ nhất thì k phải nhỏ nhất. V ới k =1 thì a = 355 < 1000: không thỏa mãn. V ới k =2 thì a = 715 < 1000: không thỏa mãn. V ới k = 3 thì a = 1075 < 1000: thỏa mãn. V ậy số cần tìm là 1075. Nh ận xét: Ta có th ể dùng cách suy luận khác như sau: Vì 1000 ≤ ≤ a 9999 nên ta có 1000 ≤ 360. k − ≤ 5 9999C ộng ba số với 5 ta được: 10005 ≤ 360. k ≤ 10004 . Chia ba s ố cho 360, ta được: 1005 10004 67 2501360 ≤ ≤ k 360 ⇔ 24 ≤ ≤ k 90Vì k ∈ N * nên 3 ≤ ≤ k 27 . V ậy giá trị nhỏ nhất của k là 3. Tương ứng sẽ cho giá trị nhỏ nhất của a là 1075. Ngoài ra, giá tr ị lớn nhất của k là 27. Tương ứng sẽ cho giá trị nhỏ nhất của a là 360. 27 – 5 = 9715 Ví d ụ 4: Tìm hai s ố tự nhiên a, b biết rằng a + b = 128 và (a, b) = 16. Vì (a, b) = 16 nên a = 16.m ; b = 16. n và (m, n) = 1. Vì a + b = 128 nên 16m + 16 n = 128 ⇒ + = m n 8Vì (m, n) = 1 và m + n = 8 nên ta có b ốn trường hợp sau: • m = 1 và n = 7 ⇒ a = 16 . 1 = 16 và b = 16 . 7 = 112.• m = 3 và n = 5 ⇒ a = 16 . 3 = 48 và b = 16 . 5 = 80.• m = 5 và n = 3 ⇒ = a 16.5 = 80 và b = 16.3 = 48 .• m = 7 và n = 1 ⇒ = a 16.7 = 112 và b = 16.1 16 = .V ậy bài toán có 4 đáp số là:a 16 48 80 112b 112 80 48 16 Trong ví d ụ trên ta thấy rằng: bài toán có đáp số là a = 48 ; b = 80 thì cũng có đáp số là a = 80 ; b = 48 . Điều đó có được là do vai trò của a và b trong đó đề bài là như nhau. V ới những bài toán như vậy, ta thường giửa sử a ≤ b để làm giảm số trường Ví dụ 5. Tìm hai s ố tự nhiên a , b bi ết rằng: ( ) a b , = 6 và [ ] a b , = 36 .Vì vai trò c ủa a và b là như nhau, nên không mất tính tổng quát, ta giẩ sử a ≤ b . Áp d ụng công thức: a b . = [ ] a b , . ( ) a b , , ta có: . a b = 36.6 = 216 .Vì ( ) a b , = 6 nên a = 6. m và b = 6. n , v ới m ≤ n và ( m n , ) = 1 Thay vào . a b = 216 ta được: 6 .6 m n = 216 36 mn = 216

Answer

2. Nâng cao• Cho a b N , ∈ và ( ) a b , = d . N ếu a = dm và b = dn thì suy ra: ( m n , ) = 1• Cho a b N , ∈ và [ ] a b , = c . N ếu c = am và c = bn thì suy ra ( m n , ) = 1 .• ( ma mb , ) = m a b ( ) , và [ ma mb , ] = m a b [ ] ,• N ếu ab m  và ( a m , ) = 1 thì b m • N ếu a m  và a n  thì a b m n .  [ ] , đặc biệt nếu a m  và a n  mà ( m n , ) = 1 thì a mn Tích hai s ố bằng tích của BCNN và ƯCLN của chúng: a b . = ( ) a b , . , [ ] a bII. M ỘT SỐ VÍ DỤD ạng 1. Các bài toán về ước chung và bội chung.Ví d ụ 1. Tìm ƯC(28, 70); BC(4; 14). Gi ải + Ta có Ư(28) = {1; 2; 4; 7; 14; 28} Ư(70) = {1; 2; 5; 7; 10; 14; 35; 70} T ừ đó suy ra ƯC(28; 70) = Ư(28) ∩ Ư(70) = {1; 2; 7; 14} + Ta có: B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28;....} B(14) = {0; 14; 28; 42; 56;....}. T ừ đó suy ra: BC(4, 14) = B(4) ∩ B(14) = {0; 28; 56; ...} Nh ận xét: D ựa vào các chú ý trong phần I, ta có thể giải bài toán trên theo cách khác sau đây: + Ta có: 28 2 .7 ; 70 2.5.7 = 2 = ⇒ ƯCLN(28,70) = 2.7 = 14.V ậy ƯC(28,70) = Ư(ƯCLN(28,70)) = Ư(14) = {1; 2; 7; 14} + Ta có: 4 = 2 2 và 14 = 2.7 ⇒ BCNN(4,14) = 2 2 . 7 = 28.V ậy BC(4,14) = B(BCNN(4,14)) = B(28) = {0; 28; 58;...}. Ví d ụ 2: Tìm s ố tự nhiên a, biết rằng 332 chia cho a thì dư 17, còn khi chia 555 cho a thì được dư là 15. Gi ải: Vì 332 chia cho a dư 17 nên 332 – 17 = 315  a và a > 17. Vì 555 chia cho a dư 15 nên 555 – 15 = 540  a và a > 15. ⇒ a ∈ ƯC(315,540)và a > 17.Ta có: 315 = 3 2 . 5.7 và 540 = 2 2 . 3 3 . 5 ⇒ ƯCLN(315,540) = 3 2 . 5 = 45.Do đó : a ∈ ƯC(315, 540) = Ư(45) = {1; 3; 5; 9; 15; 45}. Vì a > 17 nên a = 45. V ậy a = 45 Ví d ụ 3: Tìm s ố tự nhiên nhỏ nhất có bốn chữ số, biết rằng khi chia số đó cho 18; 24 ; 30 có s ố dư lần lượt là 13; 19; 25. G ọi số cần tìm là a, 1000 ≤ ≤ a 9999 . Vì a chia cho 18 dư 13 nên ta có a = 18 . q + 13. ⇒ a + 5 = (18.q + 18)  18.Tương tự, ta cũng có : a + 5 chia hết cho 24 và 30. Do v ậy a + 5 ∈ BC(18,24, 30) ⇒ (a + 5)  BCNN(18, 24, 30). Ta có: BCNN(18, 24, 30) = BCNN(2.3 2 , 2 3 .3, 2.3.5) = 2 3 . 3 2 .5 = 360 ⇒ a + 5  360 hay a + 5 = 360.k v ới k ∈ N*.⇒ a = 360.k – 5. Ta th ấy k càng lớn thì a càng lớn,vì vậy để a là số nhỏ nhất thì k phải nhỏ nhất. V ới k =1 thì a = 355 < 1000: không thỏa mãn. V ới k =2 thì a = 715 < 1000: không thỏa mãn. V ới k = 3 thì a = 1075 < 1000: thỏa mãn. V ậy số cần tìm là 1075. Nh ận xét: Ta có th ể dùng cách suy luận khác như sau: Vì 1000 ≤ ≤ a 9999 nên ta có 1000 ≤ 360. k − ≤ 5 9999C ộng ba số với 5 ta được: 10005 ≤ 360. k ≤ 10004 . Chia ba s ố cho 360, ta được: 1005 10004 67 2501360 ≤ ≤ k 360 ⇔ 24 ≤ ≤ k 90Vì k ∈ N * nên 3 ≤ ≤ k 27 . V ậy giá trị nhỏ nhất của k là 3. Tương ứng sẽ cho giá trị nhỏ nhất của a là 1075. Ngoài ra, giá tr ị lớn nhất của k là 27. Tương ứng sẽ cho giá trị nhỏ nhất của a là 360. 27 – 5 = 9715 Ví d ụ 4: Tìm hai s ố tự nhiên a, b biết rằng a + b = 128 và (a, b) = 16. Vì (a, b) = 16 nên a = 16.m ; b = 16. n và (m, n) = 1. Vì a + b = 128 nên 16m + 16 n = 128 ⇒ + = m n 8Vì (m, n) = 1 và m + n = 8 nên ta có b ốn trường hợp sau: • m = 1 và n = 7 ⇒ a = 16 . 1 = 16 và b = 16 . 7 = 112.• m = 3 và n = 5 ⇒ a = 16 . 3 = 48 và b = 16 . 5 = 80.• m = 5 và n = 3 ⇒ = a 16.5 = 80 và b = 16.3 = 48 .• m = 7 và n = 1 ⇒ = a 16.7 = 112 và b = 16.1 16 = .V ậy bài toán có 4 đáp số là:a 16 48 80 112b 112 80 48 16 Trong ví d ụ trên ta thấy rằng: bài toán có đáp số là a = 48 ; b = 80 thì cũng có đáp số là a = 80 ; b = 48 . Điều đó có được là do vai trò của a và b trong đó đề bài là như nhau. V ới những bài toán như vậy, ta thường giửa sử a ≤ b để làm giảm số trường Ví dụ 5. Tìm hai s ố tự nhiên a , b bi ết rằng: ( ) a b , = 6 và [ ] a b , = 36 .Vì vai trò c ủa a và b là như nhau, nên không mất tính tổng quát, ta giẩ sử a ≤ b . Áp d ụng công thức: a b . = [ ] a b , . ( ) a b , , ta có: . a b = 36.6 = 216 .Vì ( ) a b , = 6 nên a = 6. m và b = 6. n , v ới m ≤ n và ( m n , ) = 1 Thay vào . a b = 216 ta được: 6 .6 m n = 216 36 mn = 216