2.2...2
ô 2n thua s t ập hợp con.
D ạng 2: Tính số phần tử của một tập hợp
Ví d ụ 3. Cho A là t ập hợp các số tự nhiên lẻ có ba chữ số. Hỏi A có bao nhiêu phần tử?
Gi ải
Khi li ệt kê các phần tử của tập hợp A theo giá trị tăng dần ta được một dãy số cách đều có
kho ảng cách 2:
101; 103; 105; …; 999
T ừ đó, số phần tử của tập hợp A bằng số các số hạng của dãy số cách đều:
(999 – 101):2 + 1 = 898:2 + 1 = 450
V ậy tập hợp A có 450 phần tử.
Ví d ụ 4. Cho A là t ập hợp các số tự nhiên lẻ lớn hơn 5 và không lớn hơn 79.
a) Vi ết tập hợp A bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử.
b) Gi ả sử các phần tử của A được viết theo giá trị tăng dần. Tìm phần tử thứ 12 của A.
a) S ố tự nhiên n lớn hơn 5 và không lớn hơn 79 là số thỏa mãn điều kiện: 5 < n ≤ 79.
V ậy ta có: A = {n ∈ N| n l ẻ và 5 < n ≤ 79}.
b) Khi giá tr ị của n tăng dần thì giá trị các phần tử của A tạo thành một dãy số cách đều tăng
d ần (bắt đầu từ số 7, khoảng cách giữa hai số lien tiếp là 2). Giả sử phần tử thứ 12 của A là x
thì ta có:
(x – 7): 2 + 1 = 12
⇒ (x – 7): 2 = 11
⇒ (x – 7) = 11.2 = 22
⇒ x = 22 + 7 = 29
V ậy phần tử thứ 12 cần tìm của A là 29
Nh ận xét:
S ố phần tử của tập hợp A là: (79 – 7): 2 + 1 = 37 nên A có phần tử thứ mười hai.
Ở câu b), ta có thể viết tập hợp A dưới dạng liệt kê các phần tử cho tới phần tử thứ mười hai.
Tuy nhiên cách này có nhược điểm là ta phải liệt kê được tất cả các phần tử đứng trước phần
t ử cần tìm. Vậy với cách làm này, bài toán yêu cầu tìm phần tử ở vị trí càng lớn thì sẽ càng
khó khăn.
D ạng 3. Đếm số chữ số
Ví d ụ 5 . C ần bao nhiêu số để đánh số trang (bắt đầu từ trang 1) của một cuốn sách có
1031 trang?
Ta chia s ố trang của cuốn sách thành 4 nhóm:
- Nhóm các s ố có một chữ số (từ trang 1 đến trang 9): Số chữ số cần dùng là 9.
- Nhóm các s ố có hai chữ số (từ trang 10 đến trang 99): Số trang sách là:
(99 – 10) : 1 + 1 = 90 s ố. Số chữ số cần dùng là 90.2 = 180.
- Nhóm s ốc các số có ba chữ số (từ trang 100 đến trang 999): Số trang sách là: (999-100):1+1
= 900. S ố chữ số cần dùng để đánh số trang nhóm nay là: 900.3 = 2700.
- Nhóm các s ố có bốn chữ số (từ trang 1000 đến trang 1031): Số trang sách là: (1031 – 1000) :
1 + 1 = 32. S ố chữ số cần dung là: 32.4 = 128
V ậy tổng số chữ số cần dùng để đánh số trang của cuốn sách đó là:
9 + 180 + 2700 + 128 = 3017.
Nh ận xét:
Vi ệc chia các số trang thành các nhóm giúp chúng ta dễ dàng tính được số chữ số cần dùng
trong m ỗi nhóm, từ đó tính được tổng số chữ số cần dùng. Một câu hỏi ngược lại là: Nếu ta
bi ết số chữ số cần dùng để đánh số trang của một cuốn sáchthì ta có thể tìm được số trang của
cu ốn sách đó hay không? Ta có bài toán ngược c ủa ví dụ trên.
Ví d ụ 6. Tính s ố trang sách của một cuốn sách biết rằng để đánh số trang của cuốn sách đó
(b ắt đầu từ trang 1) cần dung đúng 3897 chữ số.
Gi ải
Để đánh các số trang có một chữ số (từ trang 1 đến trang 9), cần 9 chữ số.
Để đánh các số trang có hai chữ số (từ trang 10 đến trang 99, gồm 90 trang), cần 90.2 = 180
ch ữ số.
Để đánh các số trang có ba chữ số (từ trang 100 đến trang 999, gồm 900 trang), cần 900.3 =
2700 ch ữ số
Vì 9 + 180 + 2700 = 2889 < 3897 nên cu ốn sách có nhiều hơn 999 trang, tức là số trang của
cu ốn sách có nhiều hơn ba chữ số. Số chữ số còn lại là: 3897 – 2889 = 1008.
Vì để đánh tất cả các số trang có bốn chữ số (từ trang 1000 đến trang 9999, gồm 9000
trang), c ần 9000.4 = 36000 chữ số (vượt quá 1008 chữ số), nên số trang của cuốn sách là số có
b ốn chữ số.
Gi ả sử cuốn sách có n trang mà s ố trang có bón chữ số. Số chữ số cần dùng để đánh n trang
này là 4.n. Ta có: 4.n = 1008, suy ra n = 1008 : 4 = 252. Vì các trang này b ắt đầu từ trang
1000 nên trang cu ối cùng sẽ là 252 + 999 = 1251.
V ậy cuốn sách có 1251 trang
Nh ận xét:
Trong cách gi ải trên, ta xét lần lượt nhóm các số trang có một chữ số, hai chữ số, … cho
đến khi dùng hết chữ số mà bài cho. Vậy làm thế nào để biết số trang của cuốn sách có bao
nhiêu ch ữ số?
Sau đây là một số gợi ý:
S ố chữ số dùng để đánh số trang S ố trang của cuốn sách (n)
T ừ 1 đến 99 (kí hiệu: 1 → 9) n ≤ 9
10 → 189 10 ≤ ≤ n 99
190 → 2889 100 ≤ ≤ n 999
2890 → 38889 1000 ≤ ≤ n 9999
38889 → 488889 10000 ≤ ≤ n 99999
…
V ới gợi ý trên, từ quy luật của phạm vi số các chữ số được cho ta có thể suy ra phạm vi số
trang c ủa cuốn sách. Chẳng hạn, nếu số chữ số được cho là 16789432, nằm trong phạm vi từ
5888890 đến 68888889, thì số trang cuối cùng của cuốn sách là số có bảy chữ số.
D ạng 4. Các bài toán về cầu tạo số
Ví d ụ 7. Tìm m ột số có hai chữ số biết rằng khi viết thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số
c ủa số đó thì được số mới gấp 7 lần số đã cho.
G ọi số có hai chữ số cần tìm là ab ( 0 < ≤ a 9; 0 ≤ ≤ b 9 ) .
Khi vi ết thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số ta được số mới là a b 0 .
Theo bài ra, ta có:
=
0 7.
a b ab
+ = +
Bạn đang xem 2. - Chuyên đề ôn tập và bổ túc về số tự nhiên -
