NÂNG CAO• A 4  (HOẶC 25 A  ) KHI VÀ CHỈ KHI HAI CHỮ SỐ TẬN...

2. Nâng cao

• a 4  (hoặc 25 a  ) khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng của a tạo thành một số

chia hết cho 4 (hoặc 25).

• a 8  (hoặc 125 a  ) khi và chỉ khi ba chữ số tận cùng của a tạo thành một số

chia hết cho 8 (hoặc 125).

• a 11  khi và chỉ khi tổng các chữ số hàng lẻ của a trừ đi tổng các chữ số hàng

chẵn của a (hoặc ngược lại) chia hết cho 11.

Ví dụ: Số 908347 11  , vì ( ^{9 8 + + 4} ) ( ^{− + + 0 3 7} ) ^{= 11 11.} 

II. MỘT SỐ VÍ DỤ

Dạng 1. Chứng minh quan hệ chia hết

Ví dụ 1 . Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n ta đều có:

( ^{n + 2012 2013} )( ^{n + 2013 2012} ) ^{2. }

Giải

Ta có 2012 là số chẵn nên 2012 ²⁰¹³ cũng là số chẵn. Tương tự, ta có 2013 ²⁰¹² là số lẻ.

Từ đó: 2012 ²⁰¹² + 2013 ²⁰¹² là số lẻ.

Ta có: ( ^{n + 2012 2013} ) ( ^{+ n + 2013 2012} ) ^{= 2 n +} ( ^{2012 2013 + 2013 2012} ) là số lẻ, vì 2n là số

chẵn. Suy ra trong hai số ( ^{n + 2012 2013} ) ^và ( ^{n + 2013 2012} ) phải có một số chẵn. Do vậy tích của

chúng ( ^{n + 2012 2013} )( ^{n + 2013 2012} ) ^l à một số chẵn.

Vậy ( ^{n + 2012 2013} )( ^{n + 2013 2012} ) ^{2. }

Nhận xét:

Trong cách giải trên ta đã sử dụng tính chất: Nếu a + b là số lẻ thì trong hai số a và , b

phải có một số chẵn, một số lẻ.

Thật vậy, nếu a và , b cùng là số chẵn hoặc cùng là số lẻ thì a + b là số chẵn: Trái với giả

thiết a + b là số lẻ.

Ta cũng có thể chứng minh qua việc xét hai trường hợp: n chẵn và n lẻ.

Ví dụ 2. Chứng tỏ rằng hiệu của một số và tổng các chữ số của nó chia hết cho 9.

Ký hiệu ^{s n} ( ) là tổng các chữ số tự nhiên n . Bài toán trở thành: Chứng tỏ rằng ^{n − s n} ( )  ⁹

Thật vậy, giả sử n = a a _{m m −} 1 ... a a 1 0 ( n có m + 1 chữ số), khi đó

( ) _{m m} 1 ... 1 0 .

s n = a + a ₋ + + + a a

Ta có: n = a _m .10 ^m + a _{m − 1} .10 ^{m − 1} + + ... a ₁ .10 + a ₀

= + + + + + + + +

_{1 1 1 1 0}