CHO N  N VÀ N − 1 KHỤNG CHIA HẾT CHO 4. CMR

Bài 14: Cho n  N và n − 1 khụng chia hết cho 4. CMR: 7

ⁿ

+ 2 khụng thể làsố chớnh phương. Giải: Do n − 1 khụng chia hết cho 4 nờn n = 4k + r (r  {0, 2, 3}). Ta cú 7

⁴

− 1 = 2400



100. Ta viết 7

ⁿ

+ 2 = 7

^{4k + r}

+ 2 = 7

^r

(7

^4k

− 1) + 7

^r

+ 2. Vậy haichữ số tận cựng của 7

ⁿ

+ 2 cũng chớnh là hai chữ số tận cựng của 7

^r

+ 2 (r =0, 2, 3) nờn chỉ cú thể là 03, 51, 45. Theo tớnh chất 5 thỡ rừ ràng 7

ⁿ

+ 2 khụngthể là số chớnh phương khi n khụng chia hết cho 4.III. Tỡm ba chữ số tận cựng Nhận xột: Tương tự như trường hợp tỡm hai chữ số tận cựng, việc tỡm bachữ số tận cựng của số tự nhiờn x chớnh là việc tỡm số dư của phộp chia xcho 1000. Nếu x = 1000k + y, trong đú k ; y  N thỡ ba chữ số tận cựng của xcũng chớnh là ba chữ số tận cựng của y (y ≤ x). Do 1000 = 8 x 125 mà (8, 125) = 1 nờn ta đề xuất phương phỏp tỡm bachữ số tận cựng của số tự nhiờn x = a

^m

như sau: Trường hợp 1: Nếu a chẵn thỡ x = a

^m

chia hết cho 2

^m

. Gọi n là số tự nhiờnsao cho a

ⁿ

− 1 chia hết cho 125. Viết m = p

ⁿ

+ q (p ; q  N), trong đú q là số nhỏ nhất để a

^q

chia hếtcho 8 ta cú: x = a

^m

= a

^q

(a

^pn

− 1) + a

^q

. Vỡ a

ⁿ

− 1 chia hết cho 125 => a

^pn

− 1 chia hết cho 125. Mặt khỏc, do(8, 125) = 1 nờn a

^q

(a

^pn

− 1) chia hết cho 1000. Vậy ba chữ số tận cựng của a

^m

cũng chớnh là ba chữ số tận cựng củaa

^q

. Tiếp theo, ta tỡm ba chữ số tận cựng của a

^q

. Trường hợp 2: Nếu a lẻ , gọi n là số tự nhiờn sao cho a

ⁿ

− 1 chia hết cho1000. Viết m = u

ⁿ

+ v (u ; v  N, 0 ≤ v < n) ta cú: x = a

^m

= a

^v

(a

^un

− 1) + a

^v

. Vỡ a

ⁿ

− 1 chia hết cho 1000 => a

^un

− 1 chia hết cho 1000. a

^v

. Tiếp theo, ta tỡm ba chữ số tận cựng của a

^v

. Tớnh chất sau được suy ra từtớnh chất 4. Tớnh chất 6: Nếu a  N và (a, 5) = 1 thỡ a

¹⁰⁰

− 1 chia hết cho 125. Chứng minh: Do a

²⁰

− 1



25 nờn a

²⁰

, a

⁴⁰

, a

⁶⁰

, a

⁸⁰

khi chia cho 25 cú cựng sốdư là 1  a

²⁰

+ a

⁴⁰

+ a

⁶⁰

+ a

⁸⁰

+ 1



5. Vậy a

¹⁰⁰

− 1 = (a

²⁰

− 1)( a

⁸⁰

+ a

⁶⁰

+ a

⁴⁰

+a

²⁰

+ 1)



125.