CHỨNG MINH RẰNG KHỤNG TỒN TẠI CỎC SỐ TỰ NHIỜN X, Y, Z THỎA MÓN

Bài 10: Chứng minh rằng khụng tồn tại cỏc số tự nhiờn x, y, z thỏa món: 19

^x

+ 5

^y

+ 1980z = 1975

⁴³⁰

+ 2004. II. Tỡm hai chữ số tận cựng Nhận xột: Nếu x  N và x = 100k + y, trong đú k; y  N thỡ hai chữ số tậncựng của x cũng chớnh là hai chữ số tận cựng của y. Hiển nhiờn là y ≤ x. Như vậy, để đơn giản việc tỡm hai chữ số tận cựngcủa số tự nhiờn x thỡ thay vào đú ta đi tỡm hai chữ số tận cựng của số tựnhiờn y (nhỏ hơn). Rừ ràng số y càng nhỏ thỡ việc tỡm cỏc chữ số tận cựng của y càng đơngiản hơn. Từ nhận xột trờn, ta đề xuất phương phỏp tỡm hai chữ số tận cựng của sốtự nhiờn x = a

^m

như sau: Trường hợp 1: Nếu a chẵn thỡ x = a

^m



2

^m

. Gọi n là số tự nhiờn sao cho a

^{n − 1}



25. Viết m = p

ⁿ

+ q (p ; q  N), trong đú q là số nhỏ nhất để a

^q



4 ta cú:x = a

^m

= a

^q

(a

^pn

− 1) + a

^q

. Vỡ a

^{n − 1}



25  a

^pn

− 1



25. Mặt khỏc, do (4, 25) = 1 nờn a

^q

(a

^pn

− 1)



100. Vậy hai chữ số tận cựng của a

^m

cũng chớnh là hai chữ số tận cựng của a

^q

.Tiếp theo, ta tỡm hai chữ số tận cựng của a

^q

. Trường hợp 2: Nếu a lẻ , gọi n là số tự nhiờn sao cho a

^{n − 1}



100. Viết m = u

ⁿ

+ v (u ; v  N, 0 ≤ v < n) ta cú: x = a

^m

= a

^v

(a

^un

− 1) + a

^v

Vỡ a

ⁿ

− 1



100  a

^un

− 1



100. Vậy hai chữ số tận cựng của a

^m

cũng chớnh là hai chữ số tận cựng của a

^v

.Tiếp theo, ta tỡm hai chữ số tận cựng của a

^v

. Trong cả hai trường hợp trờn, chỡa khúa để giải được Bài là chỳng ta phảitỡm được số tự nhiờn n. Nếu n càng nhỏ thỡ q và v càng nhỏ nờn sẽ dễ dàngtỡm hai chữ số tận cựng của a

^q

và a

^v

.