TỠM HAI CHỮ SỐ TẬN CỰNG CỦA CỎC TỔNG

Bài 13: Tỡm hai chữ số tận cựng của cỏc tổng: a) S

1

= 1

²⁰⁰²

+ 2

²⁰⁰²

+ 3

²⁰⁰²

+ ... + 2004

²⁰⁰²

b) S

2

= 1

²⁰⁰³

+ 2

²⁰⁰³

+ 3

²⁰⁰³

+ ... + 2004

²⁰⁰³

Giải: a) Dễ thấy, nếu a chẵn thỡ a

²

chia hết cho 4 ; nếu a lẻ thỡ a

¹⁰⁰

− 1 chiahết cho 4 ; nếu a chia hết cho 5 thỡ a

²

chia hết cho 25. Mặt khỏc, từ tớnh chất 4 ta suy ra với mọi a  N và (a, 5) = 1 ta cú a

^

100 − 1



25. Vậy với mọi a  N ta cú a

²

(a

¹⁰⁰

− 1)



100. Do đú S

1

= 1

²⁰⁰²

+ 2

²

(2

²⁰⁰⁰

− 1) + ... + 2004

²

(2004

²⁰⁰⁰

− 1) + 2

²

+ 3

²

+ ...+ 2004

²

. Vỡ thế hai chữ số tận cựng của tổng S

1

cũng chớnh là hai chữ số tậncựng của tổng 1

²

+ 2

²

+ 3

²

+ ... + 2004

²

. ỏp dụng cụng thức: 1

²

+ 2

²

+ 3

²

+ ...+ n

²

= n(n + 1)(2n + 1)/6 1

²

+ 2

²

+ ... + 2004

²

= 2005

^

4009

^

334 = 2684707030, tận cựng là 30. Vậy hai chữ số tận cựng của tổng S

1

là 30. b) Hoàn toàn tương tự như cõu a, S

2

= 1

²⁰⁰³

+ 2

³

(2

²⁰⁰⁰

− 1) + ... +2004

³

(2004

²⁰⁰⁰

− 1) + 2

³

+ 3

³

+ 2004

³

. Vỡ thế, hai chữ số tận cựng của tổng S

2

cũng chớnh là hai chữ số tận cựng của 1

³

+ 2

³

+ 3

³

+ ... + 2004

³

. Áp dụng

2







cụng thức:

3

3

3

3

2

n(n 1)

1

2

3

... n

(1 2 ... n)









  











 1

³

+ 2

³

+ ... + 2004

³

= (2005

^

1002)

²

= 4036121180100, tận cựng là 00. Vậy hai chữ số tận cựng của tổng S

2

là 00. Tớnh chất 5: Số tự nhiờn A khụng phải là số chớnh phương nếu: + A cú chữ số tận cựng là 2, 3, 7, 8 ; + A cú chữ số tận cựng là 6 mà chữ số hàng chục là chữ số chẵn ; + A cú chữ số hàng đơn vị khỏc 6 mà chữ số hàng chục là lẻ ; + A cú chữ số hàng đơn vị là 5 mà chữ số hàng chục khỏc 2 ; + A cú hai chữ số tận cựng là lẻ.