99...9. m 99...9 m ... 9. 9
Vì 1 1
−
m m so
so 9 1 9
Suy ra: n = 9 k + s n ( ) ⇒ n − s n ( ) = 9 k 9.
Nhận xét:
Từ kết quả bài toán trên ta thấy rằng n và s n ( ) luôn có cùng số dư khi chia cho 9. Ta
cũng có kết quả tương tự khi thay 9 bằng 3.
Ví dụ 3. Hãy thay dấu phép toán cộng ( ) + hoặc trừ ( ) − vào những chỗ đánh dấu ( ) *
trong dãy tính sau để được kết quả là một số chia hết cho 2:
10 * 9 *8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3* 2 *1
Giải
Bước 1: Thay tất cả dấu “*” bằng dấu “+” ta được:
10 9 8 7 + + + + + + + + + = 6 5 4 3 2 1 55 (là số lẻ)
Bước 1: Thay tất cả dấu “+” bằng dấu “-”
Khi thay dấu “+” trong a + b bằng dấu “-”, ta được a − b . Giá trị của biểu thức giảm đi
( a + b ) ( − a b − ) = 2 b (là số chẵn).
Do đó, sau mỗi lần thay một dấu “+” bằng một dấu “-” thì kết quả giảm đi một số chẵn
nên kết quả tính luôn là một số lẻ.
Vậy không có cách thay thế nào để kết quả tính chia hết cho 2.
Trong cách giải trên ta đã sử dụng phương pháp giả thiết tạm: Thay tất cả dấu “*” bằng
dấu “+”, rồi thay dần dấu “+” bằng dấu “-”. Kết hợp với tính bất biến (Kết quả phép tính luôn
là số lẻ), ta có lời giả bài toán.
Ta cũng có thể giải thích như sau: Vì trong dãy tính có 5 số lẻ nên không thể điền dấu
“+” hay dấu “-” vào những chỗ có dấu “*” để được một số chẵn.
Ví dụ 4: Viết các số tự nhiên liên tiếp từ 10 đến 99 ta được số A. Hỏi A có chia hết cho
9 không? Vì sao?
Ta có: A = 10111213...9899.
Xét 90 số tự nhiên liến tiếp: 10,11,12,...,98,99.
• Tổng các chữ số hàng chục: ( 1 2 ... 8 9 .10 + + + + ) = 45.10 = 450.
• Tổng các chữ số hàng đơn vị: ( 0 1 2 ... 8 9 .9 + + + + + ) = 45.9 = 405.
Tổng các chữ số của A là: 450 405 855. + =
Mà 855 9 nên 9. A
Dạng 2. Tìm điều kiện cho quan hệ chia hết, chia dư.
Ví dụ 5: Biết rằng số tự nhiên n chia hết cho 2 và ( n 2 − n ) 5. Tìm chữ số tận cùng của n
Vì n 2 chia hết cho 2 nên chữ số tận cùng của n là một số chẵn.
Vì n 2 − = n n n ( − 1 5 ) nên n 5 hoặc ( n − 1 5 ) . Do đó n có chữ số tận cùng là 0,5 hoặc
1
n − có chữ số tận cùng là 0,5. Tức là n có chữ số tận cùng là 0,5,1, 6.
Kết hợp hai kết quả trên suy ra n có chữ số tận cùng là 0 hoặc 6.
Ví dụ 6 : Tìm các chữ số , x y biết rằng:
a) 23 5 2; 5 x y và 9 b) 144 xy 3 và 5
a) Vì 23 5 x y chia hết cho cả 2 và 5 nên y = 0 .
Ta có: 23 50 9 x nên ( 2 3 5 0 + + + ) 9 hay ( 10 + ) 9 ⇒ x = 8.
Vậy x = 8; 0. y =
b) Vì 144 xy 5 nên y ∈ { } 0; 5 .
• Nếu y = 0 thì ta có 144 5 3 x
( 1 4 4 x 0 3 hay 9 ) ( x ) 3 x { 0; 3; 6; 9 . }
⇒ + + + + + ⇒ ∈
• Nếu y = 5 thì ta có 144 5 3 x
( 1 4 4 x 5 3 hay 14 ) ( x ) 3 x { 1; 4; 7 . }
Vậy có bẩy cặp số ( ) x y , thỏa mãn:
x 0 3 6 9 1 4 7
y 0 0 0 0 5 5 5
Ví dụ 7: Tìm các chữ số , x y biết 2 3 x y chia hết cho 2, cho 5 và chia cho 9 dư 1.
Vì 2 3 x y chia hết cho cả 2 và 5 nên y = 0 .
Ta có: 2 30 x chia hết cho 9 dư 1 khi và chỉ khi 2 + + + x 3 0 chi hết cho 9 dư 1 (xem ví dụ 2)
hay x + 5 chia hết cho 9 dư 1.
⇒ + = ⇒ =
5 10 x x 5.
Vậy x = 5; 0. y =
Ví dụ 8: Tìm các chữ số a và b biết rằng:
a) 25 2 36 a b b) a 378 72 b và 5
a) Vì 25 acb 36 nên 25 2 4 a b và 9.
Vì 25 2 4 a b nên 2 4 b ⇒ ∈ b { 0; 4; 8 . }
• Nếu b = 0 thì ta có 25 20 9 a
( 2 5 a 2 0 9 hay ) ( a 9 9 ) a { } 0; 9 .
• Nếu b = 4 thì ta có 25 24 9 a
( 2 5 a 2 4 9 hay ) ( a 13 9 ) a 5.
⇒ + + + + + ⇒ =
• Nếu b = 8 thì ta có 25 28 9 a
( 2 5 a 2 8 9 hay ) ( a 17 9 ) a 1.
Thử lại, ta có 4 cặp số ( ) a b ; thỏa mãn:
a 0 9 5 1
b 0 0 4 8
b) Vì 378 72 a b nên 378 8 a b và 9.
• Vì 378 8 a b nên 78 8 b ⇒ b = 4.
• Vì 3784 9 a nên ( a + + + + 3 7 8 4) 9 hay ( a + 22 9 ) ⇒ = a 5
Vậy a = 5 và b = 4 .
Ví dụ 9: Tìm chữ số a sao cho 76 23 11. a
Vì 76 23 11 a nên + + − + ( 7 a 3 ) ( 6 2 ) 11 hay ( a + 22 44 ) ⇒ = a 9. .
Vậy a = 9.
Để giải bài toán tìm các chữ số chưa biết của một số, biết số đó chia hết (hoặc chia dư)
cho một vài số cho trước, ta sử dụng các dấu hiệu chia hết, ưu tiên các dấu hiệu cho biết 1
(hoặc 2, 3) chữ số tận cùng (dấu hiệu chia hết cho 2, 5, 4, 25, 8, 125)
III. BÀI TẬP
Bạn đang xem 99. - Chuyên đề ôn tập và bổ túc về số tự nhiên -
