...1978 00...0 2012A B−M N SO N SO1978NH ẬN XÉT

19781978....1978 00...0 2012

a b

−

m n so n so

1978

Nh ận xét : Phương pháp để giải dạng toán này là tạo ra dãy số ( theo cấu tạo số ) từ yêu cầu

c ủa bài toán (“tạo thỏ” ) . Sau đó áp dụng nguyên lí Dirichlet cho các số hạng của dãy số mới

(m ỗi số hạng thay cho một “thỏ”, 2012 là số “chuồng “).

Ví d ụ 2. Cho dãy m s ố tự nhiên bất kì ^{a a} ₁ ^, ₂ ^{,...., a} _m . Ch ứng minh rằng tồn tại một số hạng

chia h ết cho ^m ho ặc tổng của một số hạng liên tiếp trong dãy chia hết cho ^{m m ( ∈}  ^*) .

Gi ải

Xét dãy s ố ^b ₁ ^{= a b} _{1 2} ^{, = a} ₁ ^{+ a} ₂ ^{,..., b} _m ^{= a} ₁ ^{+ a} ₂ ^{+ .... + a} _m

Khi chia các s ố hạng của dãy này cho ^m thì x ảy ra một trong hai trường hợp sau :

• Có m ột phép chia hết , chẳng hạn : ^b _k  ^m , thì ta có điều phải chứng minh :

( a + a + .... + a _k )  m

1 2

• Không có phép chia h ết nào. Khi đó tồn tại hai phép chia có cùng số dư,chẳng hạn là b b i ^, j

chia cho m ( vơi ^{1 ≤ < ≤ j i m} )

⇒ −  + + +  , ta có điều phải chứng minh .

( b _i b _j ) m hay ( a _{j +} a _{j +} .... a _i ) m

Nh ận xét : Phương pháp “tạo thỏ “ trong ví dụ này là dựa vào phép toán cộng và yêu cầu về

tính liên ti ếp của các số hạng trong dãy ban đầu của đề bài .

Ví d ụ 3. Cho b ốn số tự nhiên phân biệt ^a > > > ^{b c d} .

Ch ứng minh rằng : ^P = ⁽ a b a c a d b c b d c d − ⁾⁽ − ⁾⁽ − ⁾⁽ − ⁾⁽ − ⁾⁽ − ^{) 12} 

Gi ải

Chia b ốn số phân biệt ^{a b c d , , ,} cho 3 luôn có hai phép chia có cùng s ố dư

⇒ Hi ệu hai số bị chia đó chia hết cho 3 ⇒ t ồn tại hiệu hai số trong bốn số ^{a b c d , , ,} chia h ết

cho 3.

Do v ậy P chia hết cho 3. (1)

Trong b ốn số ^{a b c d , , ,} n ếu có hai số có cùng số dư khi chia cho 4 thì P chia hết cho 4;trái lại,

khi chia b ốn số đó cho 4 có đủ bốn trường hợp về số dư là 0,1,2,3 ⇒ trong b ốn số ^{a b c d , , ,}

có hai s ố chẵn , hai số lẻ , giả sử ^{a c ,} ch ẵn và ^{b d ,} l ẻ ⇒ ( a c − ) 2  và ( b d − ) 2 

Do v ậy P chia hết cho 4 (2)

T ừ (1),(2) và (3,4)=1 suy ra ^P  ^{3, 4 hay P}  ¹² (đpcm)

Ví d ụ 4. Ch ứng minh rằng trong19 số tự nhiên liên tiếp bất kì ta luôn tìm được một số có tổng

các ch ữ số chia hết cho 10.

Trong 19 s ố tự nhiên liên tiếp luôn tồn tại 10 số tự nhiên liên tiếp có chữ số hàng chục giống

nhau kí hi ệu chữ số hàng chục đó là ^a (các ch ữ số hàng trăm ,hàng nghìn , ….(nếu có )cũng

gi ống nhau) còn các chữ số hàng đơn vị là dãy 0;1;2;3;…;9.Do đó tổng các chữ số của mỗi số

cũng là một dãy 10 số tự nhiên liên tiếp , vì thế tồn tại số có tổng các chữ số chia hết cho 10.