TRONG MỘT HÌNH CĨ DIỆN TÍCH S ĐẶT MỘT SỐ HÌNH CĨ TỔNG DIỆN TÍCH LỚN...

4)

Trong một hình cĩ diện tích S đặt một số hình cĩ tổng diện tích lớn hơn S thì cĩ ít

nhất hai trong số các hình đĩ cĩ điểm chung.

B. CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP

 Dạng 1: Chứng minh sự tồn tại chia hết

* Cơ sở phương pháp:

Thơng thường ta coi m số tự

nhiên đã cho là m “con thỏ”, các số

dư trong

phép chia các số tự nhiên đĩ cho n là những “lồng”; như vậy sẽ cĩ n cái lồng: lồng i

(0

≤ ≤

i

b

)

gồm những số tự nhiên đã cho chia cho n dư i.

*

Ví dụ minh họa:

Bài tốn 1. Chứng mình rằng:

a) Trong 2012 số tự nhiên bất kì luơn tìm được hai số chia cho 2011 cĩ cùng số dư

(hay hiệu của chúng chia hết cho 2011).

b) Trong 2012 sơ tự nhiên bất kì luơn tìm được một số chia hết cho 2012 hoặc luơn

tìm được hai số chia cho 2012 cĩ cùng số dư.

Hướng dẫn giải

a) Ta coi 2012 số tự nhiên đã cho là 2012 “con thỏ”; “lồng i” gồm các số chia cho 2011 dư i

(0

≤ ≤

i

2011)

nên cĩ 2011 lồng: lồng 0,

lồng 1, …, lồng 2010. Như vậy cĩ 2011 lồng chứa

2012 con thỏ nên theo nguyên lí Dirchlet tồn tại ít nhất một lồng chứa khơng ít hơn hai con

thỏ, tức là cĩ ít nhất hai số chia cho 2011 cĩ cùng số dư.

b) Nếu trong 2012 số đã cho cĩ ít nhất một số chia hết cho 2012 thì ta chọn luơn số này.

Nếu khơng cĩ số nào chia hết cho 2012 thì khi chia cho 2012 nhận nhiều nhất 2012 số dư

khác nhau là 1, 2, …, 2011. Theo nguyên lí Dirichlet, tồn tại ít nhất hai số chia cho 2012 cĩ

cùng số dư.

Nhận xét. Ta cĩ thể tổng quát bài tốn trên như sau: