LẤY NĂM ĐIỂM TÙY Ý SAO CHO KHƠNG CĨ BA A'ĐIỂM NÀO THẲNG HÀN...

Bài 30.

Lấy năm điểm tùy ý sao cho khơng cĩ ba

A'

điểm nào thẳng hàng trên mặt phẳng.

Khi đĩ vì chỉ dùng cĩ hai màu để tơ các

đỉnh, mà theo nguyên lí Dirichlet phải

A

tồn tại ba điểm trong số đĩ cùng màu.

P

N

Giả sử đĩ là ba điểm A, B, C cĩ màu đỏ.

G

M

C

B

Như vậy ta cĩ tam giác ABC với ba đỉnh

màu đỏ. Gọi G là trọng tâm tam giác

B'

C'

ABC. Chỉ cĩ hai khả năng xảy ra:

+ Nếu G cĩ màu đỏ. Khi đĩ A, B, C, G

cùng đỏ và bài tốn đã được giải.

+ Nếu G cĩ màu xanh. Kéo dài GA, GB, GC các đoạn

AA’ 3GA, BB’ 3GB, CC’ 3GC .

=

=

=

Khi đĩ gọi M, N, P tương ứng là các trung điểm của BC, CA, AB thì

A’A 3AG 6GM A’A 2AM.

=

=

⇒

=

Tương tự

B’B 2BN, CC’ 2CP . Do đĩ các tam giác A’BC, B’AC, C’AB tương ứng nhận

=

=

A, B, C là trọng tâm. Mặt khác, ta cũng cĩ các tam giác ABC và A’B’C’ cĩ cùng trọng tâm

G. Cĩ hai trường hợp sau cĩ thể xảy ra:

•

Nếu A’, B’, C’ cùng xanh. Khi đĩ tam giác A’B’C’ và trọng tâm G cĩ cùng màu xanh.

•

Nếu ít nhất một trong các điểm A’, B’, C’ cĩ màu đỏ. Khơng mất tính tổng quát giả sử A’

đỏ. Khi đo tam giác A’BC và trọng tâm A màu đỏ.

CH

IN

H

P

H

Ụ

C

K

Ỳ

T

H

I H

Ọ

C S

IN

H

GI

Ỏ

I C

Ấ

P H

AI

Vậy trong mọi khả năng luơn tồn tại một tam giác mà ba đỉnh và trọng tâm cùng màu.