1, 2, 3CHUNG CỦA 3 HÌNH TRỊN CĨ TÂM TẠI CHÍNH CÁC ĐIỂM O O O1, 2, 3. B...
1
,
2
,
3
chung của 3 hình trịn cĩ tâm tại chính các điểm
O O O
1
,
2
,
3
.
Bài tốn 2. Trên mặt phẳng cho 25 điểm sao cho từ ba điểm bất kỳ trong số chúng đều tìm
được hai điểm cĩ khoảng cách nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng tồn tại một hình trịn cĩ bán
kính bằng 1 chứa khơng ít hơn 13 điểm.
Hướng dẫn giải
Xét điểm
A
và hình trịn
( )
C
1
cĩ tâm A và bán kính là 1. Nếu tất cả 24 điểm cịn lại đều
nằm trong
( )
C
1
thì hiển nhiên bài tốn được chứng minh.
Xét trường hợp cĩ điểm B nằm ngồi
( )
C
1
. Ta cĩ
AB
>
1
xét hình trịn
( )
C
2
tâm B và bán
kính là 1.
Giả sử C là một điểm bất kỳ khác
A
và
B
. Ta chứng minh C phải thuộc một trong hai
hình trịn
( )
C
1
hoặc
( )
C
2
.
Thật vậy: giả sử ngược lại điểm C khơng thuộc cả
( )
C
1
, cả
( )
C
2
⇒
AC
>
1
và
BC
>
1
;
theo trên ,
AB
>
1
như vậy cĩ bộ ba điểm
A B C
, ,
trong đĩ khơng cĩ bất kỳ 2 điểm nào
cĩ khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1. Vơ Lý, vì trái với giả thiết.
Điều vơ lý đĩ chứng tỏ rằng hoặc là C thuộc vào
( )
C
1
hoặc là C thuộc vào
( )
C
2
.
Như vậy cả 25 điểm đã cho đều thuộc vào
( )
C
1
và
( )
C
2
.
Theo nguyên tắc Dirichlet, ắt phải cĩ ít nhất là một hình trịn chứa khơng ít hơn 13
điểm.
Bài tốn 3. Cho hình vuơng
ABCD
và chín đường thẳng phân biệt thỏa mãn mỗi một
đường thẳng đều chia hình vuơng thành hai tứ giác cĩ diện tích tỷ lệ với 2 và 3.
Chứng minh rằng tồn tại ít nhất là ba đường thẳng đồng qui tại một điểm.
CH
UY
ÊN
Đ
Ề
SỐ
H
ỌC
M
B
B
C
C
H
K
P
Q
I
J
A
D
N
Nhận xét: các đường thẳng đã cho khơng thể đi qua trung điểm các cạnh hình
vuơng
ABCD
bởi vì ngược lại thì hình vuơng sẽ bị phân thành hai phần tam giác và
ngũ giác.
Giả sử một đường thẳng trong số đĩ cắt cạnh
BC
tại
M
và cắt cạnh
AD
tại
N
.
Các hình thang
ABMN
và
CDNM
cĩ chiều cao bằng nhau nên từ giả thiết suy ra
MN
chia đoạn thẳng nối trung điểm
P
,Q
của
AB
và
CD
theo tỷ lệ
2