TRÊN MẶT PHẲNG CHO 25 ĐIỂM SAO CHO TỪ BA ĐIỂM BẤT KÌ TRONG SỐ CHÚNG ĐỀU TÌM ĐƯỢC HAI ĐIỂMCÓ KHOẢNG CÁCH NHỎ HƠN 1

11. Trên mặt phẳng cho 25 điểm sao cho từ ba điểm bất kì trong số chúng đều tìm được hai điểm

có khoảng cách nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn có bán kính bằng 1 chứa

không ít hơn 13 điểm.

DAPAN

A

F

H

E

K

N

I

B

C

M

- Xét điểm A và hình tròn tâm A bán kính bằng 1. Nếu tất cả 24 điểm còn

lại đều nằm trong (A; 1) thì hiển nhiên bài toán được chứng minh.

0,25

- Xét trường hợp có điểm B nằm ngoài (A; 1). Ta có AB > 1.

Xét hình tròn tâm B bán kính bằng 1. Giả sử C là một điểm bất kì khác A

và B. Ta chứng minh C phải thuộc một trong hai hình tròn

(A; 1) hoặc (B; 1).

Thật vậy, giả sử C không thuộc cả hai hình tròn (A; 1) và (B; 1)

=> AC > 1 và BC > 1. Theo trên ta có AB > 1. Như vậy có bộ ba điểm A,

B, C trong đó không có bất kì hai điểm nào có khoảng cách giữa chúng nhỏ

hơn 1. Điều này trái với giả thiết, chứng tỏ C thuộc vào (A; 1) hoặc C thuộc

vào (B; 1).

Vậy cả 25 điểm đó đều thuộc vào (A; 1) và (B; 1). Theo nguyên lí Dirichlet

phải có ít nhất một hình tròn chứa không ít hơn 13 điểm(đpcm).