2.2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1. CHỨNG MINH SỰ TỒN TẠI CHIA HẾT
Thông thường ta coi m số tự nhiên đã cho là m “con thỏ”, các số dư trong phép chia các
số tự nhiên đó cho n là những “lồng”; như vậy sẽ có n cái lồng: lồng i (0 i b ) gồm
những số tự nhiên đã cho chia cho n dư i.
VÍ DỤ 1. Chứng mình rằng:
a) Trong 2012 số tự nhiên bất kì luôn tìm được hai số chia cho 2011 có cùng số dư (hay
hiệu của chúng chia hết cho 2011).
b) Trong 2012 sô tự nhiên bất kì luôn tìm được một số chia hết cho 2012 hoặc luôn tìm
được hai số chia cho 2012 có cùng số dư.
Giải
a) Ta coi 2012 số tự nhiên đã cho là 2012 “con thỏ”; “lồng i” gồm các số chia cho 2011
dư i (0 i 2011) nên có 2011 lồng: lồng 0, lồng 1, …, lồng 2010. Như vậy có 2011
lồng chứa 2012 con thỏ nên theo nguyên lí Dirchlet tồn tại ít nhất một lồng chứa không
ít hơn hai con thỏ, tức là có ít nhất hai số chia cho 2011 có cùng số dư.
b) Nếu trong 2012 số đã cho có ít nhất một số chia hết cho 2012 thì ta chọn luôn số này.
Nếu không có số nào chia hết cho 2012 thì khi chia cho 2012 nhận nhiều nhất 2012 số
dư khác nhau là 1, 2, …, 2011. Theo nguyên lí Dirichlet, tồn tại ít nhất hai số chia cho
2012 có cùng số dư.
Nhận xét. Ta có thể tổng quát bài toán trên như sau:
Trang 9
Bạn đang xem 2. - Tài liệu chuyên Toán THCS -
