..104IB A   (GỒM J – I BỘ 2012) SẼ CHIA HẾT CHO 2013. LẠI...

2012...2012.10

4

ⁱ

b a   (gồm j – i bộ 2012) sẽ chia hết cho 2013.

Lại có ƯCLN (10 , 2013) 1

⁴

ⁱ

 nên số 2012...2012 (gồm j – i bộ 2012 sẽ chia hết cho 2013.

Bài toán được chứng minh.

(Ở đây “thỏ” là số có dạng 2012...2012, “lồng” là số dư trong phép chia cho 2013).

Nhận xét. Mấu chốt của bài toán là chọn ra 2014 (= 2013 + 1) số tự nhiên có dạng đã

cho. Từ đó ta có thể phát biểu nhiều bài toán tương tự, chẳng hạn như: Chứng minh rằng

luôn tìm được số có dạng 111...1 chia hết cho 29.

VÍ DỤ 3. Cho sáu số tự nhiên a b c d e g , , , , , . Chứng minh rằng trong sáu số ấy, tồn tại

một số chia hết cho 6 hoặc tồn tại một vài số có tổng chia hết cho 6.

Giải

Trường hợp có một số bằng 0 thì ta chọn số 0 thỏa mãn yêu cầu đề ra.

Trường hợp sáu số đều lớn hơn 0. Xét 6 số sau



S a

1

 

S a b

2

  

S a b c

3

   

S a b c d

4

    

S a b c d e

5

     

S a b c d e g