, 1A  A  A      A A I J  VÀ I   J 1997. CHỨNG M...

1, , 1

a  a  a _     a a i j  và i   j 1997. Chứng minh rằng tồn tại số thực x sao

i j i j i j

cho a n    nx với mọi 1   n 1997 ( trong đó   ^x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x ).

  

a a

       Do vậy cần chỉ ra sự tồn tại của

Lời giải. Ta phải chỉ ra tồn tại 1

n n

x n

; , 1 1997.

 

n m .

x với 1997 phần tử của dãy thì các đoạn là giao nhau, tức là với mọi m n , thì 1

n m

Ta chứng minh điều này bằng quy nạp theo m  n .

Nếu m n      2 m n 1 thì bất đẳng thức là hiển nhiên.

+) Nếu m  n thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng

+) Nếu n    m n mq  r , 0   r m . Do đó m    r n m và từ giả thiết quy nạp suy ra



              

1

1 1

a a a a a

m m m n m

r r

a qa a qa r qa r n

1 1 . . . .

mq r m r m m

r m ^ r m m n m

+) Nếu n    m m nq  r , 0   r n . Do đó n    r n m lại theo giả thiết quy nạp suy ra

 

 

            

. .

na na n qa a q nqa nq nr nqa nq nr

m qn r n r n n

r n r n

        

1 1 .

m n

nqa nq ra r m a

n n n

Thí dụ 3. Cho dãy   u n các số nguyên dương thỏa mãn 0  u _{m n }  u _m  u _n   2, m n ,  1.

Chứng minh rằng tồn tại hai số thực dương a a ₁ , ₂ sao cho

    a n 1  a n 2   1 u _n      a n 1  a n 2    1, n 2017.

Lời giải. Trước hết ta chứng minh bằng quy nạp với mọi m n , nguyên dương thì

  như thí dụ 2)

mu n  n u  m  ²    ¹ (hay u _n u _m 2

Với m n      2 m n 1,   1 trở thành u ₁   u ₁ 2, ta thấy   1 đúng. Giả sử   1 đúng với

  m n mà 2    m n k . Ta chứng minh   1 đúng với m n   k . Thật vậy

+) Nếu m  n thì   1 trở thành mu m  m u  m  ^{2 ,}  bất đẳng thức này đúng.

+) Nếu m  n . Xét cặp số  ^{m n n  ,}  ^{, ta có m n n}       ^{m m n k .} Do đó theo giả thiết

quy nạp thì

 m n u   n  n u  m n _  ^{2 .}  Mặt khác từ điều kiện của đề bài u _n  u _{m n }  u _m suy ra

 n m n  m   n  n m n   m n ²  m n  m ^{2 .} 

n u  u _  nu  m n u   n u  u _  n u _   nu  mu  n u 

+) Nếu m  n . Xét cặp số  ^{m n m , }  ^{, ta có m n m}       ^{n m n k .} Do đó theo giả thiết quy

nạp có

  ^{2 .} 

mu _  n m u   Mặt khác, từ điều kiện đề bài u _n  u _{n m }  u _m  2 suy ra

n m m

 ^{2 .} 

mu  m u _  u  Thành thử

n n m m

  ²   ²   ^{2 .} 

mu _  mu  n m u    m u _  u   mu  n u 

n m n m n m m n m

u u

   Đặt

Trở lại bài toán : Từ   1 suy ra 2 ^*

, , .

 m n

   

2 2

               

max ⁿ 1 ^p 1; min ⁿ 1 ^q 1.

K L

 

n p ^{ } n q

1 2017

    Do u ₁  1 nên ¹ 1 0.

k  u   Vậy 0  K  L . Chọn

Do   ^{1 có u p u q 2 K L .}

p q

a  a  K L Với mọi 1   n 2017, ta có

1 1, 2 ; .

  

a n Ln u n u n a n u n

2 1 2 1.

           

n

+) 2   2

  Do đó

    a n 1  a n 2     1 n 1   a n 2       n 1 u _n n 1 u _n .

 

         

+) 2 u ⁿ 1 _n   2 _n

a n Kn n u n a n u n

  (do u _n   n và a n ₂  u _n  n ).

Vậy     a n 1  a n 2     1 n 1   a n 2    n 1 u _n   n u _n   1 u _n .

Thí dụ 4. Dãy các số thực x x ₁ , ₂ ,... thỏa mãn x _{m n }  x _m  x _n   1, m n ,  1, 2,.... Chứng minh

rằng

x x

, , 1, 2,...

m  n  m  n  m n 

Lời giải. Bằng quy nạp ta sẽ chứng minh x mn  nx m  n   ^{1 .}

Với n  1 ta có x _m  x _m   0 1, khẳng định   1 đúng. Giả sử   1 đúng cho , n khi đó

 1   1  _{m mn m mn m mn m} 1 ,

x m n _   n x  x _  x  x  x  nx   n do đó   1 đúng cho n  1. Từ đó ta

có

            

mx nx x mx x nx m n m n

n m mn n mn m

m n m n

Thí dụ 5. Cho hàm số f :  thỏa mãn ^{f x}  ^{ y}  ^{ f x}   ^{ f y}   ^{  1, x y ,  . Chứng}

minh rằng tồn tại hàm cộng tính : g  thỏa mãn ^{f x}   ^{ g x}   ^{   1, x .}

Lời giải. Theo thí dụ 4 thì dãy x ⁿ

 

  là dãy Cauchy nên nó là dãy hội tụ. Cố định , x xét dãy

số   x n xác định bởi x n  f nx n   ^,  ^{* .} Theo giả thiết ta có

g x f nx

 Ta sẽ

x _  x  x   m n  Do đó tồn tại giới hạn hữu hạn    

lim .