2 ... 1
k
1 1
Cộng theo vế các bất đẳng thức này ta được
k x k x x x x
x
1
2
1 2 ... ...
1 1 2 1
2 1
k x x x x x k x
... 2 ... 1
k k
x x x
... .
Theo nguyên lý quy nạp thì 4 được chứng minh xong.■
Ta cũng có thể sử dụng tích chất 3 để chứng minh 4 như sau: Bằng cách áp dụng 3 nhiều
lần ta được
n
1 1 1
x x x x x x x x
... ... ...
n j
1 1 2 1 2
n n j j
j
n n j j
. . . .
n n n
2 1 2
n n j j
Tính chất 5 (Bổ đề Fekete) : Cho dãy cộng tính dưới x n n 1 không âm, khi đó tồn tại giới hạn
lim n
inf n .
n và giới hạn đó bằng
n
L x
Với 0 bất kỳ, chọn n sao cho a n n L (số n như
Chứng minh. Đặt
vậy là tồn tại theo định nghĩa của infimum). Đặt
max . i
c x
Nếu m n , đặt m qn r với
i n
0 r n . Từ tính chất cộng tính dưới của dãy , ta có
x x x x x x x qx c
... ... .
m qn r n n n r n n n r n
khi m , do qn 1
Vì vậy x m qx n c qn L c
m m m m m L
m khi m . ■
II. Một số thí dụ
Thí dụ 1. Cho a a 1 , 2 ,..., a n thỏa mãn a i j a i a j , với mọi , i j 1, i j n . Chứng minh
rằng:
a a a
a a
n n
3
... 1 ... . .
1 2 2 2
2 3 2 3
t a a l n
Lời giải. Đặt min 1 , 2 ,..., 1 .
n l
Khi đó xét dãy số b i xác định bởi
0, 1, , 0, .
b i n b b a ti Khi đó có b i j b i b j hay dãy b i thỏa mãn điều kiện đề
i l i i
bài. Ta có
n n n n
n n n n 1
b a ti a
b a tn a
1 1 1 1
và i i i
i i i t i
n i n i n i t i
.
2 2 2
i i i i
a a b b
i n i n
*
Suy ra 2 2
i n i i n i
Ta chứng minh * bằng phương pháp quy nạp. Thật vậy, với n 1 thì khẳng định đúng. Giả
sử khẳng định đúng đến n 1. Xét các trường hợp
+) Nếu l n tức b n 0 thì khẳng định luôn đúng.
+) Nếu l n , theo giả thiết quy nạp, ta có
n n l n l n l n l
b b b b b b
i i n l n l l n
2 2
i i n l i n l i n l i
1 1 1 1 1
i i i i i
1 n 1
Ta chứng minh dãy số
u n i là giảm. Thật vậy
i
1 1 1 1 1 1 1
điều này đúng vì
1 1 ,
Bạn đang xem 2 . - Chuyên đề Toán chuyên
