2A B3 3 MÀ A3;B3 NÊN 1 1 2 6221 3 14 3 .3...
2
.
2
a
b
3
3
Mà
a
3;
b
3
nên
1
1
2
62
21
3
14 2
.3
.3
80
b
a
Dấu bằng xảy ra khi
a b 3
Ví dụ 7: Cho x; y; z là các số dương
Chứng minh rằng
x
y
z
2
y
z
z
x
x
y
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
x y z 2 x y
z
x y
1z
x 2y z
x
2
x
1
y
z
x
y
z
Tương tự ta có:
y
2
y
2
x
z
x
y
z
z
2
z
3
x
y
x
y
z
Từ (1), (2) và (3) cộng vế theo vế, ta được
x
y
z
2
y
z
z
x
x
y
x y z Đẳng thức xảy ra khi
cộng lại ta có
x
y
z
0
y z xz x y
Điều này không xảy ra vì
x y z
, ,
0
Ví dụ 8: Cho các số thực x; y; z thỏa mãn:
2
2
2
3
1
1
1
x
y
y
z
z
x
2
Chứng minh rằng:
2
2
2
3
x
y
z
2
(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Hà Tĩnh, năm học 2005 – 2006)
Tìm cách giải. Bài toán không có bóng dáng của bất đẳng thức hay cực trị đại số. Tuy nhiên quan
sát kỹ phần kết luận (các phần biến có mũ 2), phần giả thiết có căn bậc hai và chỉ cần áp dụng bất
đẳng thức Cô-si một lần cho mỗi hạng tử cũng xuất hiện phần biến mũ 2. Với suy luận tự nhiên
như vậy bất đẳng thức Cô-si cho lời giải đẹp.
Trình bày lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
2
2
x
y
2
y
z
1
1
2
1
1
3
z
x
Từ (1) và (2), (3) cộng vế với vế ta được:
2
2
2
3
x
y
y
z
z
x
2
1
4
1
5
1
6
Từ (4), (5) và (6) cộng vế với vế ta được:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
2
x
y
z
x
z
x
x
y
z
Điều phải chứng minh
Ví dụ 9: Cho x; y; z là những số dương thỏa mãn:
1
1
1
x
y
z
1
Chứng minh rằng:
xyz yzx zxy xyz x y z
Tìm cách giải. Quan sát điều kiện của biến x, y, z rất tự nhiên chúng ta thấy cần đổi biến bằng
cách
đặt
1
1
1
Khi
đó
bất
đẳng
thức
có
dạng
;
;
1.
a
b
c
a b c
x
y
z