KHƠNG ĐƯỢC DÙNG PHÉP HỐN VỊ VỊNG QUANH X Y Z X VÀ GIẢ SỬ X ≥...
33. Khơng được dùng phép hốn vị vịng quanh x y z x và giả sử x ≥ y ≥ z.
Cách 1 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương x, y, z :
= + +
≥
=
A
3
. .
3
x
y
z
3
x y z
y
z
x
y z x
+ +
= ⇔
= =
⇔ = =
min
3
x y z
Do đĩ
x
y
z
x
y
z
÷
y
z
x
y
z
x
+ + =
+
÷
+
+ −
÷
. Ta đã cĩ
x
y
y
+ ≥
x
2
(do x, y > 0) nên để
Cách 2 : Ta cĩ :
x
y
z
x
y
y
z
y
y
z
x
y
x
z
x
x
y
+ + ≥
z
x
3
ta chỉ cần chứng minh :
y
z
y
z
+ − ≥
x
x
1
(1)
chứng minh
x
y
z
(1) ⇔ xy + z
2
– yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz)
⇔ xy + z
2
– yz – xz ≥ 0 ⇔ y(x – z) – z(x – z) ≥ 0 ⇔ (x – z)(y – z) ≥ 0 (2)
(2) đúng với giả thiết rằng z là số nhỏ nhất trong 3 số x, y, z, do đĩ (1) đúng. Từ đĩ tìm được giá trị nhỏ
nhất của
x
y
z
y
+ +
z
x
.