THANH HÚA 11-12CHO CÁC SỐ DƠNG X, Y , Z . CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨCCHO...

Bài 6: Thanh Húa 11-12Cho các số dơng x, y , z . Chứng minh bất đẳng thức

√ ^{y x + z +} √ ^{x + y z +} √ ^{x + z y >}

²Hướng dẫn:Cho các số dơng x, y , z . Chứng minh bất đẳng thức :

√ ^{y x + z +} √ ^{x + y z +} √ ^{x + z y >}

²Áp dụng BĐT Cosi ta có :y+zx +1

√

^{y+xz. 1≤}2 =x+y+z2x =>

√

^{yx+z≥x+2yx+z}

x + z

y +1

√ ^{x + y z}

^.1≤2

y

=>

√ ^{x + y z ≥ x +}

²

^{y y + z}

2

= x+ y + z

y+xz +1

√

^{y+zx. 1≤}2 =x+y+z2z =>

√

^{y+zx≥x+2yz+z}Cộng vế với vế ta có :

√ ^{y x + z +} √ ^{x+ y z +} √ ^{y + z x ≥}

²⁽

^{x+ x+ y y +z + z ) =2}

dấu bằng xảy ra y+ z = x x+ z = y  x + y + z = 0 y+ x = zVì x, y ,z > 0 nên x + y + z > 0 vậy dấu bằng không thể xảy ra .=>

√ ^{y x + z +} √ ^{x+ y z +} √ ^{y + z x >}

² với mọi x, y , z > 0 ( Đpcm )