+ + + +X Y Z X Y Z≥ ≥ÁP DỤNG BĐT SCHWARL TA CÓ

Bài40:lời Giải: + + + +x y z x y z≥ ≥Áp dụng BĐT Schwarl ta có:

( )

²

( )

²

A x y z x y z+ + + + + + +1 1 1 3( )Vì theo CBS

(

^{x+ +1 y+ +1 z+1}

)

²

^{≤3 3}

⁽

^{+ + +x y z}

⁾

Lại dùng AM-GM:

xy + yz + zx ≥ 3

⁶

xyz ≥ 3.

( ) ( )

⇒ + + + ≤ + + + + +3 3 x y z 3 xy yz zx x y z

2

+ +

x y z t t

≥ = ≥

Do ñó :

( )

A xy yz zx x y z t xy t

+ + + + + − ∑ −

3( 3)

3 3

t

Với ^t=

(

^{x+ y+ z}

)

²

.Cuối cùng ta sẽ chứng minh:

3

−

3( 3) 2

t ≥

BĐT ñó tương ñương với

( ^t − ^{9 2} )( ^t − ⁹ ) ≥ ^0.

Nó ñúng vì ^t=

( ∑

^x

) (

²

^{≥ 3}

⁶

^xyz

)

²

^≥9.Vậy bất ñẳng thức ñược chứng minh hòan tòan. Đẳng thức xảy ra tại x= = =y z 1.Mở rộng: Cho ba số a,b,c dương và abc≥1.Chứng minh rằng: + ≥

16

16

a b1 3.

∑

+ab