THEO CAUCHY 4 SỐ TA CÚ

2) Theo Cauchy 4 số ta cú : 4  abc  ab bc   ac  4

a b c

  1 abc

3

3

a b c abc a b c

    

BĐT tương đương : ^a

^{ b}

^{ c}

^{ 3}

^{a b c}

^{ 2}  ^{ab bc   ac}  ⁽¹⁾

Đặt

^a

^{ x ,}

^b

^{ y ,}

^c

^{ z x y z}  ^{, ,  0} 

  ^{1  x}

^{ y}

^{ z}

^{ 3 xyz  2 x y}

^{ 2 z x}

^{ 2 z y}

Áp dụng BĐT Schur bậc 3: ^x

^{ y}

^{ z}

^{ 3 xyz  xy x}  ^{ y}  ^{ yz y}  ^{ z}  ^{ xz x}  ^{ z} 

         ⁰

x x y x z y y x y z z z x z y

          với mọi số thực khụng õm , , x y z

Chứng minh BĐT :

Do vai trũ , , x y z như nhau , giả sử x  y  z

   ⁰

z z x z y

   

Ta xột : ^{x x}  ^{ z}  ^{ y y}  ^{ z}  ^{ x}

^{ xz  yz  y}

^  ^{x  y}  ^{x  y  z}  ^{ 0}

           

             

0 0

x x z x y y y z x y x x z x y y y z y x

        

         

0

dpcm



Ta cú : ^x

^{ y}

^{ z}

^{ 3 xyz  xy x}  ^{ y}  ^{ yz y}  ^{ z}  ^{ xz x}  ^{ z}  ^{ 2 x y}

^{ 2 z x}

^{ 2 z y}

x y z

 

    

Dấu = xảy ra khi 1

a b c

  

, 0

x y z

