CÂU (1,0 ĐIỂM) CHO CÁC SỐ THỰC DƯƠNG X, Y, Z THỎA MÃN X + Y + Z ≤ 1...
9. Theo đề bài thì x + y + z ≤ 1 => xy + yz + zx + 1 ≥ xy + yz + zx + x + y + z.
xy + z ≥ xy + z(x + y + z) = (z + x)(z + y)
yz + x ≥ yz + x(x + y + z) = (x + y)(x + z)
zx + y ≥ zx + y(x + y + z) = (y + z)(x + y)
Suy ra xy + yz + zx + 1 ≥ (z + x)(z + y) + (x + y)(z + x) + (y + z)(x + y)
Nên P ≥
z
2
y
2
x
2
1
1
1
3 x
y
z 3
(x
y)
(z
x)
(y
z)
x
y
y
z
z
x
<=> P ≥
x
y
2
z
x
y
2
z
x
y
2
z
3 x
y
z 3
(x
y)
(y
z)
(z
x)
mà
3[
1
2
1
2
1
2
]
(
1
1
1
)
2
[
9
]
2
(x
y)
(y
z)
(z
x)
x
y
y
z
z
x
2(x
y
z)
Khi đó P ≥
27
3 x
y
z 3
6
3
3 x
y
z 3
4(x
y
z)
4(x
y
z)
Xét hàm số g(t) =
3
3 t
3
4t
2 t
3
4t
trên (0; 1]. Đạo hàm g’(t) =
3
2
3
Vì 4t
4
– t – 3 = (t – 1)(4t³ + 4t² + 4t + 3) ≤ 0 với 0 < t ≤ 1 nên 4t² ≤ 2
t 3
=> g’(t) ≤ 0 với 0 < t ≤ 1
=> min g(t) = g(1) = 27/4 => min P = 51/4 khi x = y = z = 1/3.
24
Thời gian làm bài 180 phút