1010. NHẰM XUẤT HIỆN TỔNG GIỐNG NHAU ĐÓ VÀ CŨNG LIÊN QUAN TỚI SỐ 101...
Nhằm xuất hiện tổng giống nhau đó và cũng liên quan tới số 1010, chúng ta nghĩ tới việc
vận dụng bất đẳng thức Cô-si dạng
xy
x
2
y
Trình bày lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
Suy ra
1 2019
3 2017
5 2015
2019 1
2
2
2
...
2
S
1010 1010 1010 ..
. 10 0
1
101
0
2
S
S
a
b
c
Ví dụ 3: Cho a, b, c là các số lớn hơn 1. Chứng minh:
2
2
2
12
1
1
1
b
c
a
Giải
Tìm cách giải. Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy vế phải là tổng ba hạng tử dương
có chứa mẫu số, còn vế trái là một số thực. Do vậy chúng ta cần chọn một hạng tử thích hợp để khi
vận dụng bất đẳng thức Cô-si khử mẫu các hạng tử vế trái, chẳng hạn:
2
2
a
a
b
b
a
1
2.
.
1
4
,
và
1
1
b
b
chọn
4 !
Áp dụng bất đẳng thức cô-si; ta có:
4
1
2.
.4
1
4
1
b
b
4
1
2.
.4
1
4
2
c
c
b
c
c
4
1
2.
.4
1
4
3
a
a
c
Từ (1), (2) và (3) cộng vế với vế ta được:
2
2
2
4
3
4
a b c
a b c
b
c
a
1
1
1
12
Điều phải chứng minh
2
a
b
4
1
b
1
b
c
a
b
Đằng thức xảy ra khi
4
1
2
c
c
a
a
Ví dụ 4: Cho
a, b là số thực không âm thỏa mãn
a
2
b
2
2,
hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
3 2 3 2 .M a b a b b a b a
Tìm cách giải. Giả thiết là điều kiện liên quan các biến với số mũ 2, còn biểu thức M phần biến có
chứa căn. Nhằm biển đổi từ biểu thức chứa căn tới biểu thức không có căn và có số mũ 2, chúng ta
x
y
cần áp dụng bất đẳng thức Cô-si dạng
và
2
2
xy
xy
3
2
5
b
a
b
a
b
3
2
1
b a
b
a b
a
a b
a b
a
3
2
2
a a
b
b a b
Từ (1) và (2) suy ra:
(
5 )
(5
)
M
2
2
2
2
a
b
a
b
10
5
a
b
ab
2
2
3
M
a
b
2
2
3
3.2
6.
M
a
b
M
Đẳng thức xảy ra khi
a b 1.
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức M là 6 khi
a b 1.Ví dụ 5:
Cho hai số thực dương
x, y thỏa mãn:
4
5
x
y
23.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
6 7 8 18B x yx y
Tìm cách giải. Quan sát cả giả thiết và kết luận, hiển nhiên chúng ta cần tách phần biểu thức B có
xuất hiện bộ phận của giả thiết để khai thác. Phần còn lại cứ cùng biến ta nhóm với nhau để vận
dụng bất đẳng thức Cô-si.
Ta có:
2
2
4
5
B
x
y
8
18
x
y
x
y
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được:
8
2 8 .
8 1
x
x
y
y
18
2 18 .
12 2
Mặt khác từ giả thiết ta có
4
5
2 3
3
x
y
Từ (1), (2) và (3) cộng vế với vế ta được:
8 12 23 43B
8
2
18
2
Đẳng thức xảy ra khi
y
y
x
2
;
3
4
5
23
x
Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 43 khi
1
1
x
y
Ví dụ 6: Chứng minh rằng:
1
1
21
a
3
b
80
với
a
3;
b
3.
b
a
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Tìm cách giải. Thoáng nhìn qua, chúng ta nghĩ ngay tới việc dùng bất đẳng thức Cô-si. Tuy nhiên
sẽ là sai lầm nếu chúng ta nhóm và dùng bất đẳng thức Cô-si như sau:
21
3
3
21
3
21
21
a
3
b
21
a
3
b
2 21 .
a
.3
b
12 7
b
a
a
b
a
b
Sai lầm thứ nhất là 12 7
80,
sai lầm thứ hai là không đúng với điều kiện
a
3;
b
3.
Do vậy chúng ta cần tách và chọn các hạng tử thích hợp. Trước hết dự đoán dấu bằng xảy ra trong
bất đẳng thức khi
a3và
b3.Sau đó chọn điểm rơi để khử mẫu ở vế trái như sau:
•
3 3 xác định m bằng cách cho
3
m
Từ đó ta có