(3.0 ĐIỂM).A) CHOX ; Y ; ZLÀ CÁC SỐ THỰC DƯƠNG NHỎ HƠN4

Bài 3 (3.0 điểm).a) Chox ; y ; zlà các số thực dương nhỏ hơn4 :Chứng minh rằng trong các số

_x

¹

C

₄

¹

_y

;

1

y

C

₄

¹

_z

;

¹

_z

C

₄

¹

_x

luôn tồn tại ít nhất một số lớn hơn hoặc bằng1 :b) Với các số thực dươnga ; b ; c thay đổi thỏa mãn điều kiệna

²

Cb

²

Cc

²

C2 a b c D 1 ;tìm giá trị lớn nhất của biểu thứcP D a b C b c C c a a b c :Lời giải. a)Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sửx D minfx ; y ; zg:Khi đó, ta có14 y D . y 2 /

²

y . 4 y / C 1 1 :y C 14 y 1x C 1Từ đó suy ra điều phải chứng minh.b)Trong ba số a ; b ; c ;tồn tại hai số cùng

¹

₂

hoặc cùng

¹

₂

: Không mất tính tổng quát, giảsử hai số đó là avà b :Bây giờ, sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có a

²

C b

²

2 a b : Từ đósuy ra 1 c

²

D a

²

C b

²

C2 a b c 2 a b C 2 a b c D 2 a b . 1 C c / ; hay1 c 2 a b : . 1 /Từ đây, sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có 1 c C2 a b 2p2 a b c ;suy raa b c 18: . 2 /Ta cũng có c . 2 a 1 / . 2 b 1 / 0nên4 a b c C c 2 a c C2 b c : . 3 /Từ các bất đẳng thức . 3 / ; . 1 /và . 2 / ;ta có2 P D 2 a b C 2 a c C 2 b c 2 a b c 2 a b C c C 2 a b c 1 C 2 a b c 1C 14 D 54;hayP 58:Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khia D b D c D

¹

₂

: Vậy maxP D

⁵

₈

:Bình luận. Có thể chứng minh câua)bằng cách cộng ba số lại và sử dụng bất đẳng thức phụx C y; 8x ; y > 0 :y 4Câub)cũng có thể được giải bằng cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng cộng mẫu.Cụ thể, ta có thể viết lại giả thiết bài toán dưới dạngaa Cb c C bb C c a C cc C a b D 2 :Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng cộng mẫu, ta cób

²

C a b c C c

²

c

²

Ca b ca

²

C a b c C b

²

c Ca b D a

²

a C b c C b . a C b Cc /

²

a

²

C b

²

C c

²

C 3 a b c:Từ đó suy ra2 . a C b C c /

²

a

²

C b

²

Cc

²

C 3 a b c;a

²

C b

²

C c

²

C6 a b c 2 . a b C b c Cc a / :Màa

²

C b

²

C c

²

C 2 a b c D 1nên 1C 4 a b c 2 . a b C b c C c a / ;hay2 P 2 a b c C 1 :Mặt khác, dễ chứng minh đượca b c

¹

₈

(theo cách như. 2 /hoặc sử dụng trực tiếp bất đẳngthức AM-GM cho bốn số dương1 D a

²

Cb

²

Cc

²

C2 a b c 4p

⁴

2 a

³

b

³

c

³

) nên 2 P

⁵

₄

;hay P

⁵

₈

:Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a D b D c D

¹

₂

:Một cách khác cho câub)nữa là sử dụng biến đổi2 P D 2 . a bCb cCc a / 2 a b c D 2 . a bCb cCc a /Ca

²

Cb

²

Cc

²

1 D . aCbCc /

²

1 :Từ giả thiết, ta có. c C a b /

²

D . 1 a

²

/ . 1 b

²

/ : Suy rac D a b Cp. 1 a

²

/ . 1 b

²

/ a b C . 1 a

²

/C . 1 b

²

/2 D 2 . a C b /

²

2 :Mặt khác, sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta cũng cóa C b . a C b /

²

C1Do đóa C b C c . a C b /

²

C 12 C 2 . a Cb /

²

2 D 32:Từ đây, ta có2 P

⁹

₄

1 D

⁵

₄

;hayP

⁵

₈

:Việc còn lại chỉ là xét điều kiện để dấu đẳng thứcxảy ra.