(1.0 ĐIỂM). XÉT BẢNG Ô VUÔNG CỠ 1010GỒM100HÌNH VUÔNG CÓ CẠNH1 ĐƠ...

Bài 5 (1.0 điểm). Xét bảng ô vuông cỡ 1010gồm100hình vuông có cạnh1 đơn vị.Người ta điền vào mỗi ô vuông của bảng một số nguyên tùy ý sao cho hiệu hai số được điềnở hai ô chung cạnh bất kỳ đều có giá trị tuyệt đối không vượt quá1:Chứng minh rằng tồn tạimột số nguyên xuất hiện trong bảng ít nhất6lần.Lời giải. Gọi số nhỏ nhất được điền vào bảng làx:Khi đó với một số nguyêny được điền vàobảng, ta xét bảng ô vuông connm(ndòng,mcột,0 n 10; 0m 10) nối ô vuôngđiềnxvà ô vuông điềny như hình vẽ bên dưới, trong đóa

11

Dx; a

nm

Dy(các trường hợpa

11

ở các góc khác được xét tương tự).

a

11

a

12

: : :

a

1m

a

2m

:

:

:

a

nm

Ta cóa

12

a

11

C1; a

13

a

12

C1a

11

C2; : : : ; a

1m

a

1

Cm 1vàa

2m

a

1m

C1a

1

Cm; a

3m

a

2m

C1a

1

CmC1; : : : ; a

nm

a

1

CnCm 2:Như vậy, ta cóx y xCnCm 2xC18:Kết quả trên chứng tỏy 2 fx; xC1; : : : ; xC18g:Suy ra có không quá19số khác nhau đượcđiền vào bảng ô vuông đã cho. Do bảng đã cho có100ô vuông nên theo nguyên lý Dirichlet, có˘C1D6lần. Ta có điều phải chứng minh.một số xuất hiện không ít hơn

₁₀₀

19