CHO ĐA THỨC F(X) BIẾT F(0) = 0; F(X+1)= F(X)+2X+1 . TÍNH F (…). ĐỂ TÍN...

Bài 2: Cho đa thức f(x) biết f(0) = 0; f(x+1)= f(x)+2x+1 . Tính f (…). Để tính f(n) ta phải xác định được công thức f(n). Có hai cách:Cách 1: Tìm quy luậtTa có: f(0) = 0 = 0

²

f(1) = f(0)+2.0+1= 1=1

²

f(2)=f(1)+2.1+1= 4=2

²

f(3)=f(2)+2.2+1=9=3

²

...Dự đoán f(n) = n

²

(1). Ta chứng minh dự đoán trên bằng phương pháp quy nạp toán học:Ta có (1) đúng với n = 0. Vì f(0) = 0

²

đúngGiả sử (1) đúng với n = k , nghĩa là f(k) = k

²

.Ta chứng minh (1) đúng với n = k+1 , nghĩa là chứng minh : f(k+1)=(k+1)

²

.Ta có f(k+1) = f(k) + 2k+1= k

²

+2k+1=(k+1)

²

đúngVậy f(k) = k

²

Cách 2: Ta có: f(1) = f(0)+2.0+1f(2)=f(1)+2.1+1f(3)=f(2)+2.2+1f(n-1)=f(n-2)+2.(n-2)+1f(n)=f(n-1)+2(n-1)+1Cộng vế theo vế các đẳng thức trên, ta được: n. n 1

n

n 1

n 1

n 1



 







2

f(x) f(x) 2. 1 2 3 .... n 1 1 1 ... 1 f(x) 2. n f(x) n

   

 

 

    

 

                2

1

0

n

0

0

 ( để thuận tiện tôi dùng kí hiệu



)chuyển vế thu gọn ta được: f(n) = n

²

. Lúc này muốn tính giá trị của đa thức tại bao nhiêu mà chẳng được.