CHO F(X) LÀ HÀM BẬC BỐN THỎA MÃN F(0) = 0

Câu 46.Cho f(x) là hàm bậc bốn thỏa mãn f(0) = 0. Hàm số f

⁰

(x) đồ thị như

y

f

⁰

(x)

hình bên. Hàm sốg(x) =|f(x

³

)−x

³

−x|có bao nhiêu điểm cực trị?A. 3. B. 2. C. 1. D. 4.

1

−1

O

x

−1

−3

−5

Lời giải.Do f(x) là hàm bậc bốn và từ đồ thị của f

⁰

(x), ta có f

⁰

(x) bậc ba có 2 điểm cực trị là −1; 1 nênf

⁰⁰

(x) =a(x

²

−1).Åx

³

ãSuy ra f

⁰

(x) = a+b.3 −xb=−3®a= 3Do f

⁰

(0) =−3và f

⁰

(−1) =−1nênb=−3.a(−13 + 1) +b=−1 ⇔−3.Suy ra f

⁰

(x) = 3Xét hàm số h(x) =f(x

³

)−x

³

−x, có h

⁰

(x) = 3x

²

f

⁰

(x

³

)−3x

²

−1.h

⁰

(x) = 0⇔f

⁰

(x

³

) = 3x

²

+ 13x

²

(1).Bảng biến thiên củaf

⁰

(x):

−∞

−1

0

1

+∞

+∞

−∞

Dựa vào bảng biến thiên ta cóVới x∈(−∞; 0) : f

⁰

(x)<0⇒f

⁰

(x

³

)<0, mà 3x

²

+ 13x

²

>0 suy ra (1) vô nghiệm trên(−∞; 0).Trên (0; +∞) :f

⁰

(x)∈ (−3; +∞)⇒ f

⁰

(x

³

)∈(−3; +∞) đồng biến suy ra f

⁰

(x

³

) đồng biến mà hàmsốy = 3x

²

+ 13x

²

nghịch biến nên phương trình(1) có không quá 1 nghiệm.ïòf

⁰

(x

³

)−3x

²

+ 1Mặt khác, hàm số y=f

⁰

(x

³

)−3x

²

+ 1=−∞,3x

²

3x

²

liên tục trên (0; +∞) và lim

x→0

⁺

= +∞nên (1) có đúng 1 nghiệmx=x

₀

>0.

x→+∞

limBảng biến thiên củah(x)

−∞

0

x

0

+∞

|

0

−

−

+

h

⁰

(x)

+∞

+∞

h(x)

0

h(x

₀

)

Từ đó ta cóh(x

0

)<0nên phương trình h(x) = 0 có hai nghiệm thực phân biệt.®h(x) khih(x)≥0Mặt khác g(x) =|h(x)|=−h(x)khi h(x)<0. Từ đó hàm số g(x) có3 điểm cực trị.