2. Tính chất
Tính chất 1: Với mọi dãy cộng tính dưới x n n 1 , ta có
x kx x k n m n k
, ( , , * ). 1
n m n km
m
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo k . Theo giả thiết, x n x m n m x m x n m ,
nên 1 đúng khi k 1. Giả sử 1 đúng đến , k ta có
x kx x kx x kx x x k x x nghĩa là 1 cũng
1 1 ,
n m n km m m n km m m m n km m m n k m
đúng đến k 1, với 1 n .
k m Theo nguyên lý quy nạp ta có điều phải chứng minh. ■
Ở đây ta chỉ quy nạp theo k đến chừng nào bất đẳng thức n
k m vẫn đúng!
Tính chất 2: Với mọi dãy cộng tính dưới x n n 1 , ta có
x mx n x n m m n
*
n m
1 1 , ( , ). 2
m
Chứng minh. Từ giả thiết ta có
x x x x mx Viết n mk r , với k 1, r 0;1;...; m 1 . Ta có x m mx 1
1 1 1
1 1 ... .
m m m
và x r rx 1 . Ta cần chỉ ra rằng km r 1 km r 1 m
x mx x
m
hay mx km r m x 2 1 k 1 m r x m *
Ta sẽ chứng minh * bằng quy nạp theo . k
Với k 1, ta phải chứng minh mx m r m x 2 1 rx m . Ta có được điều này bằng cách cộng hai
bất đẳng thức sau
2
rx r x rx
1
m r m
2 2
m r x m r m r x m r x
1 1
m r
Giả sử * đúng đến k , tức là mx km r m x 2 1 k 1 m r x m . Cộng cả hai vế của bất đẳng
thức này với mx m , ta được mx km r mx m m x 2 1 km r x m .
Lại có mx k 1 m r m x km r x m mx km r mx m
Từ đó suy ra * đúng cho k 1. Theo nguyên lý quy nạp ta có điều cần chứng minh.■
Tính chất 3: Cho dãy cộng tính dưới x n n 1 , khi đó nếu m n thì
... 1 3
x x x n n x
1 2
n 2 m
Chứng minh. Với m n thì 3 đúng, nghĩa là có
x x x n x
... 1 **
n 2 n
Thật vậy, ta có thể thấy điều này bằng cách cộng các bất đẳng thức cùng chiều sau
x x x
n n
...
x x x n x x x x x x x x
Suy ra 1 2 1 1 2 1
Bạn đang xem 2. - Chuyên đề Toán chuyên
